En introduktion till logaritmer, baser och exponenter

I den här handledning kommer du att lära dig mer om

  • exponentiering
  • baser
  • logaritmer till basen 10
  • naturliga logaritmer
  • regler för exponenter och logaritmer
  • arbeta ut logaritmer på en kalkylator
  • diagram över logaritmiska funktioner
  • användningen av logaritmer
  • med logaritmer för att utföra multiplikation och delning

Om du tycker att denna handledning är användbar, vänligen visa din uppskattning genom att dela på Facebook eller Pinterest.

En graf över en loggfunktion. |

Vad är Exponentiation?

Innan vi lär oss om logaritmer måste vi förstå begreppet exponentiering. Exponentiation är en matematisk operation som höjer ett nummer till en effekt av ett annat nummer för att få ett nytt nummer.

Så 10 2 = 10 x 10 = 100

På liknande sätt 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64

och 25 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Vi kan också höja siffror med decimaldelar (icke-heltal) till en effekt.

Så 1, 5 2 = 1, 5 x 1, 5 = 2, 25

Vad är baser och exponenter?

I allmänhet, om b är ett heltal:

Sedan a b = axaxax a .... a = c

a kallas basen och b kallas exponenten. Som vi kommer att få reda på senare behöver b inte vara ett heltal och kan vara en decimal.

Hur man förenklar uttryck som involverar exponenter

Det finns flera exponentlagar (ibland kallade "regler för exponenter") som vi kan använda för att förenkla uttryck som innehåller siffror eller variabler höjt till en kraft.

Exponents lagar

Lagar för exponenter (exponenters regler). |

Exempel med användning av exponenters lagar

Noll exponent

5 0 = 1
27 0 = 1
1000 0 = 1

Negativ exponent

2 -4 = 1/2 4 = 1/16

10 -3 = 1/10 3 = 1/1000

Produktlag

5 2 x 5 3 = 5 (2 + 3) = 5 5 = 3125

Kvotisk lag

3 4/3 2 = 3 (4 - 2) = 3 2 = 9

Power of a power

(2 3 ) 4 = 2 12 = 4096

Kraften hos en produkt

(2 x 3) 2 = 6 2 = 36 = (2 2 x 3 2 ) = 4 x 9 = 36

Övning A: Exponenters lagar

Förenkla följande:

  1. y a y b y c
  2. p a p b / p x p y
  3. p a p b / q x q y
  4. ((ab) 4 ) 3 x ((ab) 2 ) 3
  5. (((ab) 4 ) 3 x ((ab) 4 ) 3 ) 2 / a 25

Svar längst ner på sidan.

Icke-heltalsexponenter

Exponenter behöver inte vara heltal, de kan också vara decimaler.

Föreställ dig till exempel om vi har ett nummer b, då är produkten av kvadratroten av b

Så √bx √b = b

I stället för att skriva √b skriver vi det som b lyft till en kraft x:

Sedan √b = b x och b x xb x = b

Men med produktregeln och kvoten på en regel kan vi skriva:

b x xb x = b 2x = b = b 1

Så b 2x = b 1 Därför 2x = 1 och x = 1/2

Så √b = b x = b 1/2

Vad är logaritmer?

Om vi ​​höjer 10 till kraften i 3, får vi 1000.

10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000

Logaritmfunktionen är motsatsen till exponentiering och logaritmen för ett nummer (eller log för kort) är det nummer en bas måste höjas till för att få det numret.

Så log 10 1000 = 3 eftersom 10 måste höjas till kraften på 3 för att få 1000.

Vi anger basen med abonnemanget 10 i log 10. Ibland utelämnas detta.

Några fler exempel:

10 2 = 100 och log 10 100 = 2

10 4 = 10 000 och log 10 10 000 = 4

10 6 = 1000 000 och log 10 1000 000 = 6

Logaritmen för ett nummer (eller log för kort) är det nummer en bas måste höjas till för att få det numret.

Logga till bas 10. |

Logaritmer till baser Andra än 10

Vi kan naturligtvis utarbeta loggar till andra baser.

Några exempel:

2 3 = 8 och log 2 8 = 3

3 4 = 81 och log 3 81 = 4

Logga till bas 2. |

Hur man arbetar ut logaritmer med en kalkylator

Du kan använda logfunktionen på en kalkylator för att beräkna loggen för ett nummer till basen 10.

  1. Tryck på "log".
  2. Skriv numret.
  3. Du kanske måste trycka på "=" beroende på räknarens modell.

Så här räknar du ut loggen för ett nummer till en annan bas än 10:

  1. Tryck på knappen "2: a funktionen" eller "skift"
  2. Tryck på "log y x" -tangenten
  3. Skriv basen
  4. Skriv numret
  5. Du kanske måste trycka på "=" beroende på räknarens modell.

Inte alla kalkylatorer har en "log y x" -nyckel, så se "ändring av bas" i egenskaperna för logaritmer nedan.

Utarbeta loggen för ett nummer till basen 10 med en Android-kalkylator-app. |

Utarbeta loggen för ett nummer till basen 10 med en Android-kalkylator-app. Vissa kalkylatorer kräver att du trycker på "=" när du har angett numret. |

Övning B: Beräkna värden på stockar

Beräkna värdet på dessa loggar:

  1. log 2 256
  2. log 10 10 000 000
  3. logg 3 81
  4. log 1, 5 3, 375
  5. ln 20, 0855

Svar längst ner på sidan

Den naturliga logaritmen

Den matematiska konstanten som kallas Eulers antal är ungefär lika med 2, 71828

Värdet på uttrycket (1 + 1 / n) n närmar sig e när n blir större och större.

Derivatet av ex är sig själv. Så d / dx (e x ) = e x

Loggen för ett nummer x till bas e skrivs normalt som ln x eller log e x

Graf över logfunktionen

Grafen nedan visar funktionsloggen (x) för baserna 10, 2 och e.

Vi märker flera egenskaper om loggfunktionen:

  • Eftersom x 0 = 1 för alla värden på x, är loggen (1) för alla baser 0.
  • Loggen x ökar med en minskande takt när x ökar.
  • Logg 0 är odefinierat. Logga x tenderar till - eftersom x tenderar mot 0.
Graf över loggen x till olika baser. |

Logaritmernas egenskaper

Dessa kallas ibland logaritmiska identiteter eller logaritmiska lagar.

Produktregeln:

En produkts logg är lika med summan av stockarna.

log c ( AB ) = log c A + log c B

Kvotregeln:

Loggen för en kvot (dvs. ett förhållande) är skillnaden mellan tellerens logg och nämnarens logg.

log c ( A / B ) = log c A - log c B

Maktregeln:

Loggen för ett nummer höjt till en effekt är kraften och numret.

log c ( A b ) = b log c A

Ändring av bas:

log c A = log b A / log b c

Denna identitet är användbar om du behöver räkna ut en logg till en annan bas än 10. Många kalkylatorer har bara "log" och "ln" nycklar för logg till bas 10 respektive naturlig logg till bas e .

Exempel

Vad är log 2 256?

log 2 256 = log 10 256 / log 10 2 = 8

Övning C: Använda loggaregler för att förenkla uttryck

Förenkla följande:

  1. log 10 35x
  2. log 10 5 / x
  3. logga 10 x 5
  4. log 10 10x 3
  5. log 2 8x 4
  6. log 3 27 (x 2 / y 4 )
  7. logga 5 (1000) i termer av basen 10, avrundad till två decimaler

Vad används logaritmer för?

  • Representerar nummer med ett stort dynamiskt intervall
  • Komprimera skalor på grafer
  • Multiplicera och dela decimaler
  • Förenkla funktioner för att beräkna derivat

Representerar nummer med ett stort dynamiskt intervall

Inom vetenskapen kan mätningar ha ett stort dynamiskt intervall. Detta innebär att det kan finnas en enorm variation mellan det minsta och största värdet på en parameter.

Ljudtrycksnivåer

Ett exempel på en parameter med ett stort dynamiskt område är ljud.

Typiskt uttrycks ljudtrycksnivåmätningar (SPL) i decibel.

Ljudtrycksnivå = 20log 10 ( p / p 0 )

där p är trycket och p o är en referenstrycknivå (20 μPa, det svagaste ljudet som det mänskliga örat kan höra)

Genom att använda loggar kan vi representera nivåer från 20 μPa = 20 x 10 -5 Pa upp till ljudnivån för ett gevärskott (7265 Pa) eller högre på en mer användbar skala från 0dB till 171dB.

Så om p är 20 x 10 -5, det svagaste ljudet vi kan höra

Sedan SPL = 20log 10 ( p / p 0 )

= 20log 10 (20 x 10 -5 / 20 x 10 -5 )

= 20log 10 (1) = 20 x 0 = 0dB

Om ljudet är 10 gånger högre, dvs 20 x 10 -4

Sedan SPL = 20log 10 ( p / p 0 )

= 20log 10 (20 x 10 -4 / 20 x 10 -5 )

= 20log 10 (10) = 20 x 1 = 20dB

Öka nu ljudnivån med en annan faktor på 10, dvs gör den 100 gånger högre än det svagaste ljudet vi kan höra.

Så p = 20 x 10 -3

SPL = 20log 10 ( p / p 0 )

= 20log 10 (20 x 10 -3 / 20 x 10 -5 )

= 20log 10 (100) = 20 x 2 = 40dB

Så varje 20DB-ökning i SPL representerar en tiofaldig ökning av ljudtrycket.

Richter storleksskala

Storleken på en jordbävning på Richters skala bestäms med hjälp av en seismograf för att mäta markrörelsvågens amplitud. Loggen över förhållandet mellan denna amplitud och en referensnivå ger jordbävningens styrka på skalan.

Den ursprungliga skalan är log 10 (A / A 0 ) där A är amplituden och A 0 är referensnivån. I likhet med ljudtrycksmätningar på en loggskala, varje gång värdet på skalan ökar med 1, representerar detta en tiofaldig ökning av styrkan hos jordbävningen. Så en jordbävning med styrka 6 på Richters skala är tio gånger starkare än jordbävning på nivå 5 och 100 gånger starkare än jordbävning på nivå 4.

Logaritmiska skalor på grafer

Värden med ett stort dynamiskt intervall representeras ofta på diagram med olinjära, logaritmiska skalor. X-axeln eller y-axeln eller båda kan vara logaritmiska, beroende på vilken typ av data som representeras. Varje division på skalan representerar normalt en tiofaldig värdeökning. Typiska data som visas på en graf med en logaritmisk skala är:

  • Ljudtrycksnivå (SPL)
  • Ljudfrekvens
  • Jordskalvstorlekar (Richter skala)
  • pH (surhetsgrad i en lösning)
  • Ljusintensitet
  • Trippström för brytare och säkringar
Trippström för en MCB-skyddsanordning. (Dessa används för att förhindra överbelastning och överhettning av kabel när överskottsström flyter). Den aktuella skalan och tidsskalan är logaritmisk. |

Frekvensrespons för ett lågpassfilter, en enhet som endast tillåter låga frekvenser under under en avstängningsfrekvens (t.ex. ljud i ett ljudsystem). Frekvensskalan på x-axeln och förstärkningsskalan på y-axeln är logaritmisk. |

Svar på övningar

Övning A

  1. y (a + b + c)
  2. p (a + b-x - y)
  3. p (a + b) / q (x + y)
  4. (ab) 18
  5. a 23 b 48

Övning B

  1. 8
  2. 6
  3. 4
  4. 3
  5. 3

Övning C

  1. log 10 35 + log 10 x
  2. log 10 5 - log 10 x
  3. 5log 10 x
  4. 1 + 3log 10 x
  5. 3 + 4log 2 x
  6. 3 + 2log 3 x - 4log 3 år
  7. log 10 1000 / log 10 5 = 4, 29 ca.

© 2019 Eugene Brennan