Fysik, mekanik, kinematik och ballistik

Fysik är ett vetenskapligt område som handlar om hur materia och vågor beter sig i universum. En gren av fysik som kallas mekanik behandlar krafter, materia, energi, arbete och rörelse. En ytterligare undergren, känd som kinematik, handlar om rörelse och ballistik handlar specifikt om rörelsen hos projektiler som släppts ut i luften, vattnet eller rymden. Att lösa ballistiska problem innebär att använda Newtons rörelseekvationer.

Se min artikel, kraft, vikt, Newton, hastighet, massa och friktion - grundläggande principer för mekanik, som introducerar de grundläggande begreppen mekanik

I dessa exempel, för enkelhetens skull, har effekterna av luftfriktion som kallas drag uteslutits.

Vilka är Equations of Motion? (SUVAT-ekvationer)

Tänk på en kropp med massa m, påverkad av en kraft F för tid t . Detta ger en acceleration som vi kommer att beteckna med bokstaven a . Kroppen har en initial hastighet u, och efter tiden t når den en hastighet v . Den reser också avstånd s .

Så vi har 5 parametrar associerade med kroppen i rörelse: u, v, a, s och t

Rörelsekvationerna tillåter oss att räkna ut någon av dessa parametrar när vi känner till tre andra parametrar. Så de tre mest användbara formlerna är:

v = u + vid

s = ut + ½at 2

v 2 = u 2 + 2as

Kom ihåg att Newtons andra rörelselag säger att F = ma så att en kropps acceleration beror på kraften. Den accelererar bara och ökar i hastighet så länge en kraft appliceras (eller avtar och minskar i hastighet om kraften motsätter sig rörelse). När kraften har tagits bort förblir hastigheten konstant såvida inte en annan kraft verkar på den (Newtons första rörelselag). I våra exempel är den andra kraften gravitation som får hastigheten att öka eller minska.

Acceleration av kroppen. Kraft F producerar acceleration a över tid t och avstånd s. |

Lösning av projektilrörelseproblem - beräkning av flygtid, rest avstånd och höjd

Examensfrågor inom gymnasiet och högskolan innebär vanligtvis att man beräknar flygtid, rest avstånd och uppnådd höjd.

Det finns fyra scenarier som normalt presenteras i denna typ av problem, och det är nödvändigt att beräkna parametrar som nämns ovan:

  1. Objekt tappade från en känd höjd
  2. Föremål kastat uppåt
  3. Föremål som kastas horisontellt från en höjd över marken
  4. Objekt lanserat från marken i en vinkel

Dessa problem löses genom att ta hänsyn till de initiala eller slutliga förhållandena och det gör att vi kan utarbeta en formel för hastighet, kört avstånd, tid för flygning och höjd. För att bestämma vilken av Newtons tre ekvationer du ska använda, kolla vilka parametrar du känner till och använda ekvationen med en okänd, det vill säga parametern du vill uträtta.
I exempel 3 och 4, genom att bryta rörelsen ner i dess horisontella och vertikala komponenter kan vi hitta de lösningar som krävs.

Banan för ballistiska organ är en parabola

Till skillnad från guidade missiler, som följer en väg som är variabel och kontrollerad av ren elektronik eller mer sofistikerade datorkontrollsystem, följer en ballistisk kropp som ett skal, kanonkula, partikel eller sten som kastas i luften en parabolisk bana efter att den har lanserats. Startenheten (pistol, hand, sportutrustning etc.) ger kroppen en acceleration och lämnar enheten med en initial hastighet. Exemplen nedan ignorerar effekterna av luftdrag som minskar räckvidden och höjden som uppnås av kroppen.

För mycket mer information om parabol, se min handledning:
Hur man förstår ekvationen för en parabola, Directrix och fokus

Vatten från en fontän (som kan betraktas som en partikelström) följer en parabolisk bana |

1. Fritt fallande objekt tappade från en känd höjd

v = u + vid

s = ut + at 2

v 2 = u 2 + 2as

I detta fall börjar den fallande kroppen i vila och når en sluthastighet v. Accelerationen i alla dessa problem är a = g (accelerationen på grund av tyngdkraften). Kom dock ihåg att tecknet på g är viktigt som vi kommer att se senare.

Beräknar sluthastighet

u = 0 (kroppen är initialt i vila)

a = g (g är positivt eftersom det är i rörelseriktningen och accelererar kroppen)

s = h (höjden som objektet tappas från)

Ekvationen v = u + på kan inte användas eftersom t är okänd, så använd ekvationen v 2 = u 2 + 2as

Så:

v 2 = u 2 + 2as

= 0 2 + 2gh = 2gh

Tar kvadratroten på båda sidor

v = (2gh) Detta är den slutliga hastigheten

Beräkna omedelbart fallet avstånd

s = ut + at 2

= 0t + gt 2

Så s = gt 2

Beräknar tiden för att falla avstånd h

s = h = ut + at 2

= 0t + gt 2

Så h = gt 2

Vilket ger

t 2 = 2 timmar / g

Tar kvadratiska rötter på båda sidor

t = (2h / g)

Free Falling Object tappade från en känd höjd |

2. Objektet projiceras vertikalt uppåt

v = u + vid

s = ut + at 2

v 2 = u 2 + 2as

I detta scenario projiceras kroppen vertikalt uppåt 90 grader mot marken med en initial hastighet u. Den slutliga hastigheten v är 0 vid den punkt där objektet når maximal höjd och blir stillastående innan den faller tillbaka till jorden. Accelerationen i detta fall är en = -g eftersom tyngdkraften saktar ner kroppen under dess uppåtgående rörelse.

Låt t 1 och t 2 vara tiden för flygningar uppåt respektive nedåt

Beräknar tid för flygning uppåt

v = u + vid

0 = u + (-g) t

Ger

u = gt

t 1 = u / g

Beräknar avståndet reste uppåt

v 2 = u 2 + 2as

0 2 = u 2 + 2 (-g) s

u 2 = 2gs

Ger

s = h = u 2 / (2g)

Beräknar tid för flygning nedåt

Vi beräknade tidigare att den tid det tog för ett objekt att falla ett avstånd h är:

t = (2h / g)

Men vi räknade ut ovan att h = u 2 / (2g) är avståndet reste uppåt

ersätta:

t 2 = (2h / g) = (2 (u 2 / (2g)) / g) = (2u 2 / 2g 2 ) = u / g

Detta är också u / g. Du kan beräkna det genom att veta vilken höjd som uppnåtts enligt nedan och veta att den ursprungliga hastigheten är noll. Tips: använd exempel 1 ovan!

Total tid för flygning

total tid för flygning är t 1 + t 2 = u / g + u / g = 2u / g

Objektet projiceras uppåt |

3. Objekt som projiceras horisontellt från en höjd

v = u + vid

s = ut + ½at 2

v 2 = u 2 + 2as

En kropp projiceras horisontellt från en höjd h med en initialhastighet u relativt marken. Nyckeln till att lösa denna typ av problem är att veta att den vertikala rörelsekomponenten är densamma som vad som händer i exempel 1 ovan, när kroppen tappas från en höjd. Så när projektilen rör sig framåt, rör sig den också nedåt, accelererad av tyngdkraften

Flygtid

t = √ (2 timmar / g), beräknat i exempel 1

Avståndet reste horisontellt

Det finns ingen horisontell acceleration, bara en vertikal acceleration g på grund av tyngdkraften

Så rest avstånd = hastighet x tid = ut = u√ (2 timmar / g)

s = u√ (2 timmar / g)

Objekt projicerat horisontellt |

4. Objekt projicerat i vinkel mot marken

v = u + vid

s = ut + ½at 2

v 2 = u 2 + 2as


I detta exempel kastas en projektil i en vinkel Θ till marken med en initial hastighet u. Detta problem är det mest komplexa, men med hjälp av grundläggande trigonometri kan vi lösa hastighetsvektorn till vertikala och horisontella komponenter. Flygtid och vertikalt avstånd som körts till banans topp kan sedan beräknas med hjälp av metoden i exempel 2 (objekt som kastas uppåt). När vi väl har en tid på flygningen, så gör det möjligt för oss att beräkna det horisontella avståndet som har rest under denna period.

Se diagram nedan

Låt dig vara den horisontella komponenten av den initiala hastigheten

Låt u v vara den vertikala komponenten av den initiala hastigheten

Cos Θ = u h / u

Ge dig h = uCos Θ

Liknande

Sin Θ = u v / u

Ger dig v = uSin Θ

Tid för flygning till toppen av banan

Från exempel 2 är tidpunkten för flygning t = u / g. Eftersom den vertikala hastighetskomponenten är u v

t = u v / g = uSin Θ / g

Uppnådd höjd

Återigen från exempel 2 är det vertikala avståndet som körts s = u 2 / (2g). Men eftersom u v = uSin Θ är den vertikala hastigheten:

s = u v 2 / (2g) = (uSin Θ) 2 / (2g))

Horisontellt avstånd reste

Eftersom flygningstiden är uSin Θ / g till banans topp och uSin Θ / g under den period då projektilen faller tillbaka till marken (se nedåtgående tid för flygexempel 2)

Total tid för flygning är:

2uSin Θ / g

Nu under denna period rör sig projektilen horisontellt med en hastighet u h = uCos Θ

Så horisontellt kört avstånd = horisontell hastighet x total flygtid

= uCos Θ x (2uSin Θ) / g

= (2u 2 Sin ΘCos Θ) / g

Den dubbla vinkelformeln kan användas för att förenkla

Dvs Sin 2A = 2SinACosA

Så (2u 2 Sin ΘCos Θ) / g = (u 2 Sin 2Θ) / g

Horisontellt avstånd till bana på bana är halva detta eller:

(u 2 Sin 2Θ) / 2g

En vektor kan lösas i två komponenter

Vertikala och horisontella hastighetskomponenter |

Objekt projicerat i en vinkel mot marken. (Höjden på munningen från marken har ignorerats men är mycket mindre än räckvidden och höjden) |

Vad är den optimala vinkeln för att starta en projektil?

Den optimala vinkeln för att lansera en projektil är den vinkel som ger maximalt horisontellt område.

Med hjälp av den grundläggande differentiella kalkylen kan vi differentiera funktionen för horisontellt räckvidd och ställa in den till noll så att vi kan hitta toppens kurva (av grafen för intervall kontra lanseringsvinkel, inte toppen på den aktuella banan). Hitta sedan den vinkel som uppfyller ekvationen.

Så horisontellt intervall = 2u 2 Sin Cos / g

Produktregel:

Om a '(x) är derivatet av en (x) wrt x
och b '(x) är derivatet av b (x) wrt x

sedan derivat av a (x) b (x) wrt x = a (x) b '(x) + b (x) a' (x)

Derivat av synd är Cos

Derivat från Cos är -Sin

Använd produktregeln och isolera konstanten 2u 2 / g:

d / d (2u 2 Sin Cos / g)

= 2u 2 / g (d / d (Sin Cos ))

= 2u 2 / g [(Sin ) (- Sin ) + (Cos ) (Cos )]

Ställer in detta till noll

2u 2 / g [(Sin ) (- Sin ) + (Cos ) (Cos )] = 0

Dela varje sida med 2u 2 / g och omarrangering ger:

(Sin ) 2 = (Cos ) 2

Så Sin = Cos

Och vinkeln som tillfredsställer detta är = 45

Orbital Velocity Formula: Satellites and Spacecraft

Vad händer om en invändad projiceras riktigt snabbt från jorden? När objektets hastighet ökar faller det längre och längre från den punkt där det lanserades. Så småningom är avståndet som det går horisontellt samma avstånd som jordens krökning gör att marken faller lodrätt. Objektet sägs vara i omloppsbana. Hastigheten som detta sker är cirka 25 000 km / h i låg jordbana.

Om en kropp är mycket mindre än objektet som den kretsar kring är hastigheten ungefär:

v (GM / r)

Där M är massan för den större kroppen (i detta fall jordens massa)

r är avståndet från jordens centrum

G är gravitationskonstanten = 6, 67430 10 11 m 3 kg 1 s 2

Om vi ​​överskrider omloppshastigheten, kommer ett objekt att undkomma en planetvikt och resa utåt från planeten. Så här kunde Apollo 11-besättningen undkomma jordens allvar. Genom att justera bränningen av raketer som gav framdrivning och få hastigheterna precis rätt i rätt ögonblick kunde astronauterna sätta in rymdskeppet i månens omloppsbana. Senare i uppdraget när LM utplacerades, använde det raketer för att bromsa hastigheten så att den tappade ut ur bana och slutligen kulminerade i månmånden 1969.

Newtons kanonboll. Om hastigheten ökas tillräckligt kommer kanonkulan att röra sig hela jorden runt. |

En kort historielektion ....

ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) var en av de första allmänna datorer som konstruerades och byggdes under WW2 och slutfördes 1946. Det finansierades av den amerikanska armén och incitamentet för dess utformning var att möjliggöra beräkning av ballistiska bord för artilleri skal med hänsyn till effekterna av drag, vind och andra faktorer som påverkar projektilerna under flygningen.
ENIAC var till skillnad från dagens datorer en kolossal maskin som väger 30 ton, förbrukade 150 kilowatt kraft och tog upp 1800 kvadratmeter golvyta. Vid den tiden förklarades det i media som "en mänsklig hjärna". Innan transistors dagar användes integrerade kretsar och mikropressorer, vakuumrör (även kända som "ventiler") inom elektronik och utförde samma funktion som en transistor. dvs. de kan användas som en switch eller förstärkare. Vakuumrör var anordningar som såg ut som små glödlampor med inre trådar som måste värmas upp med en elektrisk ström. Varje ventil använde några få watt effekt, och eftersom ENIAC hade över 17 000 rör ledde detta till enorm kraftförbrukning. Rören brände också ut regelbundet och måste bytas ut. Det behövdes två rör för att lagra en bit information med hjälp av ett kretselement som kallas en "flip-flop" så att du kan uppskatta att minneskapaciteten för ENIAC inte var någonstans nära vad vi har i datorer idag.
ENIAC måste programmeras genom att ställa in strömställare och ansluta kablar och det kan ta veckor.

ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) var en av de första allmänna datorerna
Vakuumrör (ventil) |

Teknisk matematik av KA Stroud

En banbrytande och omfattande referens med över 500 000 sålda exemplar sedan starten första gången 1970, den nya sjunde upplagan av Engineering Mathematics har reviderats och utvidgats grundligt. En interaktiv personlig handleds-CD-ROM ingår i varje bok. Genom att tillhandahålla en bred matematisk undersökning täcker denna innovativa volym ett komplett utbud av ämnen från det helt grundläggande till avancerade.

Jag rekommenderar den här boken starkt eftersom det är som att ha en personlig handledare som guidar dig genom lösningen av problem när den går igenom texten och förklarar allt tydligt.

Teknisk matematik Teknisk matematik Köp nu