Introduktion

Medan forskare kommer att diskutera om Pythagoras och hans forntida skola faktiskt upptäckte det teorem som bär hans namn, är det fortfarande en av de viktigaste teorema i matematik. Det finns bevis på att de forntida indierna och babylonierna visste om dess principer men inget skriftligt bevis för det dök upp förrän någon gång senare i Euclids Elements Book I Proposition 47 (Euclid 350-351). Medan många andra bevis på Pythagoras har dykt upp i modern tid, är det några av bevisen mellan Euclid och nutiden som har intressanta tekniker och idéer som återspeglar den inre skönheten i matematiska bevis.

Ptolemaios

Medan han kanske är bättre känd för sin astronomi, tänkte Claudius Ptolemaios (f. 85 Egypten d. 165 Alexandria, Egypten) ett av de första alternativa bevisen för Pythagoras teorem. Hans mest kända volym, Almagest, är uppdelad i 13 böcker och täcker matematiken för planets rörelser. Efter introduktionsmaterial behandlade bok 3 hans teori om solen, bok 4 och 5 täcker hans teori om månen, bok 6 undersöker ellipser, och böcker 7 & 8 tittar på fasta stjärnor samt sammanställer en katalog över dem. De sista fem böckerna täcker planetteori där han proven matematisk den geocentriska modellen genom att demonstrera hur planeter rör sig i epicykler, eller kretsar i en cirkel om en fast punkt, och denna fasta punkt ligger på en bana om jorden. Även om denna modell verkligen är fel, förklarade den empiriska data extremt bra. Intressant nog skrev han en av de första böckerna om astrologi och kände att det var nödvändigt att visa himmelens effekter på människor. Under åren har flera anmärkningsvärda forskare kritiserat Ptolemaios från plagiering till dålig vetenskap medan andra har kommit till försvar och lovordat hans ansträngningar. Argumenten visar inga tecken på att stoppa när som helst snart, så bara njut av hans arbete för nu och oroa dig för vem som gjorde det senare (O Connor Ptolemy ).

Hans bevis är som följer: Rita en cirkel och skriv in den i fyrkantig ABCD och anslut motsatta hörn. Välj en inledande sida (i detta fall AB) och skapa ABE = DBC. Dessutom är s CAB och CDB lika eftersom de båda har den gemensamma sidan f.Kr. Från detta är trianglarna ABE och DBC lika eftersom 2/3 av deras vinklar är lika. Vi kan nu skapa förhållandet (AE / AB) = (DC / DB) och omskrivning som ger AE * DB = AB * DC. Att lägga till EBD i ekvationen ABE = DBC ger ABD = EBC. Eftersom BDA och BCA är lika, med den gemensamma sidan AB, är trianglarna ABD och EBC lika. Förhållandet (AD / DB) = (EC / CB) följer och kan skrivas om som EC * DB = AD * CB. Att lägga till denna och den andra härledda ekvationen ger (AE + EC) * DB = AB * DC + AD * CB. Att ersätta AE + EC = AC ger ekvationen AC * BD = AB * CD + BC * DA. Detta kallas Ptolemys teorem, och om det fyrkantiga råkar vara en rektangel, så är alla hörnen rät vinklade och AB = CD, BC = DA och AC = BD, vilket ger (AC) 2 = (AB) 2 + ( BC) 2 (Eli 102-104).

Thabit ibn Qurra

Många hade kommenterat Pythagoras teorem, men Thabit ibn Qurra (f. 836 i Turkiet, d. 02.18.901 i Irak) var en av de första som gav kommentarer om det och skapade ett nytt bevis för det också. Qurra, som är infödd i Harran, gav många bidrag till astronomi och matematik, inklusive översättning av Euclids element till arabiska (i själva verket kan de flesta revisioner av elementen spåras tillbaka till hans arbete). Hans andra bidrag till matematik inkluderar talteori om minnesvärden, sammansättningen av förhållanden ("aritmetiska operationer tillämpade på förhållanden mellan geometriska mängder"), generaliserade Pythagorean teorem till vilken triangel som helst, och diskussioner om parabol, vinkeltrisektion och magiska rutor (som var första steg mot integrerad kalkyl) (O'Connor “Thabit”).

Hans bevis är som följer: Rita valfri triangel ABC, och var du än betecknar topp toppen (A i det här fallet) ritar du linjer AM och AN så att en gång ritat drawnAMB = ∠ ANC = ∠ A. Lägg märke till hur detta gör trianglar ABC, MBA och NAC liknande. Att använda egenskaper hos liknande objekt ger förhållandet (AB / BC) = (MB / AB) och härifrån får vi relationen (AB) 2 = BC * MB. Återigen, med egenskaper hos liknande trianglar, (AB / BC) = (NC / AC) och därmed (AC) 2 = BC * NC. Från dessa två ekvationer kommer vi till (AC) 2 + (AB) 2 = BC * (MB + NC). Detta är känt som Ibn Qurras teorem. När ∠ A har rätt faller M och N på samma punkt och därför följer MB + NC = BC och Pythagorean Theorem följer (Eli 69).

Leonardo Da Vinci

En av historiens mest intressanta forskare som avslöjade ett unikt bevis för Pytagoras teorem var Leonardo Da Vinci (f. April 1453 Vinci, Italien, d. 2 maj 1519 Amboise, Frankrike). Först en lärling som lärde sig måleri, skulptur och mekaniska färdigheter, flyttade han till Milan och studerade geometri, och arbetade inte med sina målningar överhuvudtaget. Han studerade Euclid och Paciolis Suma och började sedan sina egna studier på geometri. Han diskuterade också att använda linser för att förstora objekt som planeter (annars känd för oss som teleskop) men konstruerar aldrig ett sådant. Han insåg att månen reflekterade ljus från solen och att under en månförmörkelse det reflekterade ljuset från jorden nådde månen och sedan reste tillbaka till oss. Han tenderade att röra sig ofta. 1499, från Milan till Florens och 1506, till Milan. Han arbetade ständigt med uppfinningar, matematik eller vetenskap men mycket lite tid på sina målningar medan han var i Milan. 1513 flyttade han till Rom och slutligen 1516 till Frankrike. (O'Connor “Leonardo”)

Leonardos bevis är som följer: Följ figuren, rita en triangel AKE och konstruera en kvadrat, från varje sida, på samma sätt. Från hypotenuse kvadrat konstruerar du en triangel lika med triangel AKE men vipps 180 ° och från rutorna på de andra sidorna av triangeln AKE konstruerar också en triangel lika med AKE. Lägg märke till hur en sexhörning ABCDEK finns, snedställd av den trasiga linjen IF, och eftersom AKE och HKG är spegelbilder av varandra om linjen IF, I, K och F är alla kollinära. För att bevisa att fyrkantiga KABC och IAEF är kongruenta (därmed har samma område), vrid KABC 90 ° moturs om A. Detta resulterar i ∠ IAE = 90 ° + α = ∠ KAB och ∠ ABC = 90 ° + β = ∠AEF. Följande par överlappar också: AK och AI, AB och AE, BC och EF, med alla vinklar mellan linjerna fortfarande bibehållna. Således överlappar KABC IAEF, vilket bevisar att de är lika i area. Använd samma metod för att visa att hexagonerna ABCDEK och AEFGHI också är lika. Om man subtraherar de kongruenta trianglarna från varje hexagon, då ABDE = AKHI + KEFG. Detta är c2 = a 2 + b2, Pythagoras teorem (Eli 104-106).

President Garfield

Otroligt nog har en amerikansk president också varit källan till ett originalt bevis på satset. Garfield skulle bli en matematiklärare, men politiken världen drog honom in. Innan han gick upp till ordförandeskapet publicerade han detta bevis på teorem 1876 (Barrows 112-3).

Garfield startar sitt bevis med en höger triangel som har ben a och b med hypotenuse c. Han ritar sedan en andra triangel med samma mått och ordnar dem så att båda c: erna bildar en rätt vinkel. Att ansluta trianglarnas två ändar bildar ett trapez. Liksom alla trapezier är dess area lika med medelvärdet av baserna gånger höjden, så med en höjd av (a + b) och två baser a och b, A = 1/2 * (a + b) * (a + b) = 1/2 * (a + b) 2 . Området skulle också vara lika med området för de tre trianglarna i trapeziet, eller A = A 1 + A 2 + A 3 . Arean av en triangel är halva basen gånger höjden, så A 1 = 1/2 * (a * b) som också är A 2 . A 3 = 1/2 (c * c) = 1/2 * c 2 . Därför A = 1/2 * (a * b) + 1/2 * (a * b) + 1/2 * c 2 = (a * b) + 1/2 * c 2 . Att se detta lika med trapezytan ger oss 1/2 * (a + b) 2 = (a * b) + 1/2 * c 2 . Genom att fylla ut hela vänster ger vi 1/2 * (a 2 + 2 * a * b + b 2 ) = 1/2 * a 2 + (a * b) + 1/2 * b 2 . Därför (a * b) + 1/2 * c 2 = 1/2 * a 2 + (a * b) + 1/2 * b2. Båda sidorna har en * b så 1/2 * a 2 + 1/2 * b 2 = 1/2 * c 2 . Att förenkla detta ger oss en 2 + b 2 = c 2 (114-5).

Slutsats

Perioden mellan Euklid och den moderna eran såg några intressanta förlängningar och tillvägagångssätt för Pythagorean Theorem. Dessa tre fastställde takten för de bevis som skulle följa. Medan Ptolemy och ibn Qurra kanske inte har haft teoremet i åtanke när de började med sitt arbete, visar det faktum att satset ingår i deras implikationer hur universellt det är, och Leonardo visar hur jämförelsen av geometriska former kan ge resultat. Sammantaget utmärkta matematiker som gör Euclid-ära.

Citerade verk

Barrow, John D. 100 väsentliga saker du inte visste att du inte visste: matematik förklarar din värld. New York: WW Norton &, 2009. Tryck. 112-5.

Euclid och Thomas Little Heath. De tretton böckerna av Euclids element. New York: Dover Publications, 1956. Print.350-1

Maor, Eli. Pythagoras teorem: en 4000-årig historia. Princeton: Princeton UP, 2007. Skriv ut.

O'Connor, JJ och EF Robertson. "Leonardo Biografi." MacTutor matematikhistoria. University of St Andrews, Scotland, december 1996. Web. 31 jan 2011. http: // www- history.mcs.st-and.ac.uk/Biografier/Leonardo.html

O'Connor, JJ och EF Robertson. "Ptolemy-biografi." MacTutor matematikhistoria. University of St Andrews, Skottland, april. 1999. Webb. 30 jan 2011. http: // www- history.mcs.st-and.ac.uk/Biografier/Ptolemy.html

O'Connor, JJ och EF Robertson. "Thabit-biografi." MacTutor matematikhistoria. University of St Andrews, Scotland, november 1999. Web. 30 jan 2011..

  • Kepler och hans första planlag
    Johannes Kepler levde i en tid av stor vetenskaplig och matematisk upptäckt. Teleskop uppfanns, asteroider upptäcktes och föregångarna till kalkylen var i verk under hans livstid. Men Kepler gjorde själv många ...