Vad är en parabola?

En parabola är en öppen plankurva som skapas genom korsningen av en höger cirkulär kon med ett plan parallellt med dess sida. Uppsättningen av punkter i en parabola är likvidistant från en fast linje. En parabola är en grafisk illustration av en kvadratisk ekvation eller andra gradsekvation. Några av exemplen som representerar en parabola är projektilrörelsen hos en kropp som följer en parabolisk kurvväg, hängbroar i form av en parabola, reflekterande teleskop och antenner. De allmänna formerna av en parabola är:

Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

där C 0 och D 0

Ax 2 + Dx + Ey + F = 0

där A 0 och D 0

Olika former av paraboliska ekvationer

Den allmänna formeln Cy2 + Dx + Ey + F = 0 är en parabolisk ekvation vars topp är på (h, k) och kurvan öppnas antingen till vänster eller höger. De två reducerade och specifika formerna av denna allmänna formel är:

(y - k) 2 = 4a (x - h)

(y - k) 2 = - 4a (x - h)

Å andra sidan är den allmänna formeln Ax2 + Dx + Ey + F = 0 en parabolisk ekvation vars topp är på (h, k) och kurvan öppnas antingen uppåt eller nedåt. De två reducerade och specifika formerna av denna allmänna formel är:

(x - h) 2 = 4a (y - k)

(x - h) 2 = - 4a (y - k)

Om toppens parabola är på (0, 0) har dessa allmänna ekvationer minskade standardformer.

y 2 = 4ax

y 2 = - 4ax

x 2 = 4ay

x 2 = - 4ay

Egenskaper för en Parabola

En parabola har sex egenskaper.

1. Kanten på en parabola är i mitten av kurvan. Det kan antingen vara vid ursprunget (0, 0) eller någon annan plats (h, k) i det kartesiska planet.

2. Parafolens konkavitet är orienteringen av den paraboliska kurvan. Kurvan kan öppnas antingen uppåt eller nedåt eller till vänster eller höger.

3. Fokus ligger på symmetriaxeln för en parabolisk kurva. Det är ett "avstånd" enheter från parabolens topp.

4. Symmetriaxeln är den imaginära linjen som innehåller riktningens topp, fokus och mittpunkt. Det är den imaginära linjen som separerar parabolen i två lika delar som speglar varandra.

Ekvation i standardformVertexKonkavitetFokusAxis of Symmetry
y ^ 2 = 4ax(0, 0)höger(a, 0)y = 0
y ^ 2 = -4ax(0, 0)vänster(-a, 0)y = 0
(y - k) ^ 2 = 4a (x - h)(h, k)höger(h + a, k)y = k
(y - k) ^ 2 = -4a (x - h)(h, k)vänster(h - a, k)y = k
x ^ 2 = 4ay(0, 0)uppåt(0, a)x = 0
x ^ 2 = -4ay(0, 0)nedåt(0, -a)x = 0
(x - h) ^ 2 = 4a (y - k)(h, k)uppåt(h, k + a)x = h
(x - h) ^ 2 = -4a (y - k)(h, k)nedåt(h, k - a)x = h
Tabell 1: Standardekvationer för en parabola

5. Riktningen för en parabola är linjen som är parallell med båda axlarna. Avståndet mellan riktningen från toppunkten är 'a' enheter från toppunkten och '2a' enheter från fokus.

6. Latus rektum är ett segment som passerar genom parabolskkurvens fokus. De två ändarna av detta segment ligger på den paraboliska kurvan (± a, ± 2a).

Ekvation i standardformdirectrixSlutar på Latus Rectum
y ^ 2 = 4axx = -a(a, 2a) och (a, -2a)
y ^ 2 = -4axx = a(-a, 2a) och (- a, -2a)
(y - k) ^ 2 = 4a (x - h)x = h - a(h + a, k + 2a) och (h + a, k - 2a)
(y - k) ^ 2 = -4a (x - h)x = h + a(h - a, k + 2a) och (h - a, k - 2a)
x ^ 2 = 4ayy = -a(-2a, a) och (2a, a)
x ^ 2 = -4ayy = a(-2a, -a) och (2a, -a)
(x - h) ^ 2 = 4a (y - k)y = k - a(h - 2a, k + a) och (h + 2a, k + a)
(x - h) ^ 2 = -4a (y - k)y = k + a(h - 2a, k - a) och (h + 2a, k - a)

Olika diagram över en parabola

Fokus för en parabola är n enheter bort från toppunktet och är direkt på höger eller vänster sida om den öppnas till höger eller vänster. Å andra sidan är fokusen på en parabola direkt ovanför eller under toppunkten om den öppnas uppåt eller nedåt. Om parabolen öppnas till höger eller vänster är symmetriaxeln antingen x-axeln eller parallell med x-axeln. Om parabolen öppnas uppåt eller nedåt är symmetriaxeln antingen y-axeln eller parallell med y-axeln. Här är graferna över alla ekvationer för en parabola.

Graf över olika ekvationer av en parabola |

Diagram över olika former av Parabola |

Guide för grafisk bild av alla paraboler

1. Identifiera konkaviteten för den paraboliska ekvationen. Se instruktionerna för öppning av kurvan till tabellen ovan. Det kan öppnas åt vänster eller höger, eller uppåt eller nedåt.

2. Leta upp parabolens topp. Korsningen kan antingen vara (0, 0) eller (h, k).

3. Leta upp parabolens fokus.

4. Identifiera koordinaten för latus ändtarmen.

5. Leta reda på den paraboliska kurvan. Placeringen av riktningen är samma avstånd från fokus från toppunkten men i motsatt riktning.

6. Kartlägga parabolen genom att rita en kurva som sammanfogar vertex och koordinaterna för latus rektum. För att avsluta det, märk alla viktiga punkter i parabolen.

Problem 1: En parabola som öppnas till höger

Med tanke på den paraboliska ekvationen, y 2 = 12x, bestäm följande egenskaper och diagram parabolen.

a. Concavity (riktning i vilken grafen öppnas)

b. Vertex

c. Fokus

d. Latus rektumkoordinater

e. Linjen av symmetri

f. directrix

Lösning
Ekvationen y 2 = 12x är i den reducerade formen y 2 = 4ax där a = 3.

a. Konkaviteten hos den paraboliska kurvan öppnas till höger eftersom ekvationen är i formen y 2 = 4ax.

b. Parabolens topp med en form y 2 = 4ax är vid (0, 0).

c. Fokus för en parabola i formen y 2 = 4ax är vid (a, 0). Eftersom 4a är lika med 12 är värdet på a 3. Därför är fokusen för den paraboliska kurvan med ekvationen y 2 = 12x vid (3, 0). Räkna 3 enheter till höger.

d. Latus rektumkoordinaterna för ekvationen y 2 = 4ax är vid (a, 2a) och (a, -2a). Eftersom segmentet innehåller fokus och är parallellt med y-axeln lägger vi till eller subtraherar 2a från y-axeln. Därför är latus rektumkoordinaterna (3, 6) och (3, -6).

e. Eftersom parabolans topp är på (0, 0) och öppnar till höger är symmetriinjen y = 0.

f. Eftersom värdet på a = 3 och diagrammet för parabolen öppnas till höger, är riktningen vid x = -3.

Diagram över en parabola som öppnas till höger i det kartesiska koordinatsystemet

Problem 2: En parabola som öppnas till vänster

Med tanke på den paraboliska ekvationen, y 2 = - 8x, bestäm följande egenskaper och diagram parabolen.

a. Concavity (riktning i vilken grafen öppnas)

b. Vertex

c. Fokus

d. Latus rektumkoordinater

e. Linjen av symmetri

f. directrix

Lösning
Ekvationen y 2 = - 8x är i den reducerade formen y 2 = - 4ax där a = 2.

a. Konkaviteten hos den paraboliska kurvan öppnar till vänster eftersom ekvationen är i formen y 2 = - 4ax.

b. Parabolens topp med en form y 2 = - 4ax är vid (0, 0).

c. Fokus för en parabola i formen y 2 = - 4ax är vid (-a, 0). Eftersom 4a är lika med 8, är värdet på a 2. Därför är fokusen för den paraboliska kurvan med ekvationen y 2 = - 8x vid (-2, 0). Räkna 2 enheter till vänster.

d. Latus rektumkoordinaterna för ekvationen y 2 = - 4ax är vid (-a, 2a) och (-a, -2a). Eftersom segmentet innehåller fokus och är parallellt med y-axeln lägger vi till eller subtraherar 2a från y-axeln. Därför är latus rektumkoordinaterna (-2, 4) och (-2, -4).

e. Eftersom parabolans topp är på (0, 0) och öppnar till vänster är symmetriinjen y = 0.

f. Eftersom värdet på a = 2 och diagrammet för parabolen öppnas till vänster, är riktningen vid x = 2.

Diagram över en parabola som öppnas till vänster i det kartesiska koordinatsystemet

Problem 3: En parabola som öppnar sig uppåt

Med tanke på den paraboliska ekvationen x 2 = 16y, bestäm följande egenskaper och diagram parabolen.

a. Concavity (riktning i vilken grafen öppnas)

b. Vertex

c. Fokus

d. Latus rektumkoordinater

e. Linjen av symmetri

f. directrix

Lösning
Ekvationen x 2 = 16y är i reducerad form x 2 = 4ay där a = 4.

a. Konkaviteten hos den paraboliska kurvan öppnar sig uppåt eftersom ekvationen är i formen x 2 = 4ay.

b. Parabolens topp med en form x 2 = 4ay är vid (0, 0).

c. Fokus för en parabola i formen x 2 = 4ay är vid (0, a). Eftersom 4a är lika med 16 är värdet på a 4. Därför är fokuset för den paraboliska kurvan med ekvationen x 2 = 4ay vid (0, 4). Räkna 4 enheter uppåt.

d. Latus rektumkoordinaterna för ekvationen x 2 = 4ay är vid (-2a, a) och (2a, a). Eftersom segmentet innehåller fokus och är parallellt med x-axeln lägger vi till eller subtraherar a från x-axeln. Därför är latus rektumkoordinaterna (-16, 4) och (16, 4).

e. Eftersom parabolans topp är på (0, 0) och öppnar sig uppåt, är symmetriinjen x = 0.

f. Eftersom värdet på a = 4 och diagrammet för parabolen öppnas uppåt, är riktningen på y = -4.

Diagram över en parabola som öppnas uppåt i kartesiska koordinatsystem |

Problem 4: En parabola som öppnar nedåt

Med tanke på den paraboliska ekvationen (x - 3) 2 = - 12 (y + 2), bestäm följande egenskaper och diagram parabolen.

a. Concavity (riktning i vilken grafen öppnas)

b. Vertex

c. Fokus

d. Latus rektumkoordinater

e. Linjen av symmetri

f. directrix

Lösning
Ekvationen (x - 3) 2 = - 12 (y + 2) är i den reducerade formen (x - h) 2 = - 4a (y - k) där a = 3.

a. Konkaviteten hos den paraboliska kurvan öppnas nedåt eftersom ekvationen är i formen (x - h) 2 = - 4a (y - k).

b. Parabolens topp med en form (x - h) 2 = - 4a (y - k) är vid (h, k). Därför är toppmaterialet vid (3, -2).

c. Fokus för en parabola i formen (x - h) 2 = - 4a (y - k) är vid (h, ka). Eftersom 4a är lika med 12 är värdet på a 3. Därför är fokusen på den paraboliska kurvan med ekvationen (x - h) 2 = - 4a (y - k) vid (3, -5). Räkna 5 enheter nedåt.

d. Latus rektumkoordinater för ekvationen (x - h) 2 = - 4a (y - k) är vid (h - 2a, k - a) och (h + 2a, k - a) Därför är latus rektumkoordinaterna ( -3, -5) och (9, 5).

e. Eftersom parabolans topp är på (3, -2) och öppnar sig nedåt är symmetriinjen x = 3.

f. Eftersom värdet på a = 3 och diagrammet för parabolen öppnas nedåt är riktningen på y = 1.

Diagram över en parabola som öppnar sig nedåt i det kartesiska koordinatsystemet

Lärde du dig av exemplen?

  • Ja
  • Nej
Se resultat