Definition av en parabola

"Ett lokus är en kurva eller en annan figur bildad av alla punkter som uppfyller en viss ekvation."

Ett sätt vi kan definiera en parabola är att det är platsen för punkter som är lika långt från både en linje som kallas riktningen och en punkt som kallas fokus. Så varje punkt är på samma avstånd från fokus som från riktningen som du kan se i animeringen nedan.

En parabola är en plats av punkter ekvidistant (samma avstånd) från en linje som kallas riktningen och punkt som kallas fokus. |

Definition av en parabola

En parabola är en plats av punkter ekvistant från en linje som kallas riktningen och punkt som kallas fokus.

En parabola är en konisk sektion

Ett annat sätt att definiera en parabola

När ett plan korsar en kon får vi olika former eller koniska sektioner där planet skär skärens yttre yta. Om planet är parallellt med konens botten får vi bara en cirkel. När vinkeln A i animationen nedan förändras blir den så småningom lika med B och den koniska delen är en parabola.

En parabola är den form som produceras när ett plan korsar en kon och skärningsvinkeln till axeln är lika med halva öppningsvinkeln. |

Koniska sektioner. |

Ekvationer av Parabolas

Det finns flera sätt vi kan uttrycka ekvationen för en parabola:

  • Som kvadratisk funktion
  • Hörnform
  • Fokusform

Vi ska utforska dessa senare, men låt oss först titta på den enklaste parabolen.

Den enklaste parabolen y = x²

Den enklaste parabolen med topppunkten vid ursprunget, punkt (0, 0) på grafen, har ekvationen y = x .

Värdet på y är helt enkelt värdet på x multiplicerat med sig själv.

xy = x
11
24
39
416
525

Graf över y = x² - Den enklaste parabolen

Den enklaste parabolen, y = x² |

Låt oss ge xa-koefficient!

Den enklaste parabolen är y = x 2 men om vi ger xa-koefficient kan vi generera ett oändligt antal parabol med olika "bredder" beroende på värdet på koefficienten .

Så låt oss göra y = ɑx 2

I diagrammet nedan har various olika värden. Lägg märke till att när ɑ är negativ är parabolen "upp och ned". Vi kommer att upptäcka mer om detta senare. Kom ihåg att formen y = ɑx 2 av ekvationen för en parabola är när dess topppunkt är vid ursprunget.

Att göra ɑ mindre resulterar i en "bredare" parabola. Om vi ​​blir större blir parabolen smalare.

Parabol med olika koefficienter av x² |

Vända den enklaste parabolen på sin sida

Om vi ​​vänder parabolen y = x 2 på sin sida får vi en ny funktion y 2 = x eller x = y 2 . Detta betyder bara att vi kan tänka på y som den oberoende variabeln och kvadrera det ger oss motsvarande värde för x.

Så:

När y = 2, x = y 2 = 4

när y = 3, x = y 2 = 9

när y = 4, x = y 2 = 16

och så vidare...

Parabolen x = y² |

Precis som fallet med den vertikala parabolen kan vi åter lägga till en koefficient till y 2.

Så vi har x = ɑy 2

Parabol med olika koefficienter för y² |

Hörnform av en Parabola Parallell med Y-axlar

Ett sätt vi kan uttrycka ekvationen för en parabola är i termer av koordinaterna för toppunkten. Ekvationen beror på om parabolans axel är parallell med x- eller y-axeln, men i båda fallen är toppunktet beläget vid koordinaterna (h, k). I ekvationerna är ɑ en koefficient och kan ha valfritt värde.

När axeln är parallell med y-axeln:

y = ɑ (x - h) 2 + k

Om ɑ = 1 och (h, k) är ursprunget (0, 0) får vi den enkla parabolen vi såg i början av lektionen:

y = 1 (x - 0) 2 + 0 = x 2

Korsformen av ekvationen för en parabola. |

När axeln är parallell med x-axeln:

x = (y - h) 2 + k

Observera att detta inte ger oss någon information om placeringen av fokus eller riktlinje.

Korsformen av ekvationen för en parabola. |

Ekvation av en parabola i termer av koordinaterna i fokus

Ett annat sätt att uttrycka ekvationen för en parabola är i termer av koordinaterna för toppunktet (h, k) och fokus.

Vi såg att:

y = (x - h) 2 + k

Med Pythagoras teorem kan vi bevisa att koefficienten = 1 / 4p, där p är avståndet från fokus till toppunktet. Att ersätta detta i ekvationen ovan ger oss:

När symmetriaxeln är parallell med y-axeln:

y = (x - h) 2 + k = 1 / (4p) (x - h) 2 + k

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 4p:

4py = (x - h) 2 + 4pk

Ordna om:

4p (y - k) = (x - h) 2

eller

(x - h) 2 = 4p (y - k)

Liknande:

När symmetriaxeln är parallell med x-axeln:

(y - k) 2 = 4p (x - h)

Ekvation av en parabola när det gäller fokus. |

Fokusform av ekvationen för en parabola. |

En kvadratisk funktion är en parabola

Betrakta funktionen y = ɑx 2 + bx + c

Detta kallas en kvadratisk funktion på grund av kvadratet på x-variabeln.

Detta är ett annat sätt vi kan uttrycka ekvationen för en parabola.

Hur man bestämmer vilken riktning en parabola öppnas

Oavsett vilken form av ekvation som används för att beskriva en parabola, bestämmer koefficienten för x 2 om en parabola kommer att "öppna upp" eller "öppna ner". Öppning innebär att parabolen kommer att ha ett minimum och värdet på y kommer att öka på båda sidor om minimum. Öppna ned betyder att det kommer att ha ett maximum och värdet på y minskar på båda sidorna av max.

  • Om ɑ är positiv öppnas parabolen
  • Om ɑ är negativ, öppnas parabolen

Parabola öppnas eller öppnas

Tecknet på koefficienten för x² avgör om en parabola öppnas eller öppnas. |

Hur man hittar toppet på en parabola

  1. Expandera ekvationen till formen ɑx 2 + bx + c
  2. Identifiera koefficienterna a och b
  3. Korsningen uppträder vid x = -b / 2ɑ
  4. Anslut värdet -b / 2ɑ till ekvationen för att få värdet på y

Exempel: Hitta topppunkten för ekvationen y = 5x 2 - 10x + 7

  1. Koefficienten a är positiv, så att parabolen öppnas och toppunkten är ett minimum
  2. ɑ = ​​5 och b = -10 så minsta inträffar vid -b / 2ɑ = - (-10) / (2 (5)) = 1
  3. Ersättare för x-ger:

y = 5x 2 - 10x + 7

= 5 (1) 2 - 10 (1) + 7

= 5 - 10 + 7

= 2

Så vertex uppstår vid (1, 2)

Hur man hittar X-skärning av en parabola

En kvadratisk funktion y = ɑx 2 + bx + c är ekvationen för en parabola.

Om vi ​​ställer in kvadratisk funktion på noll, får vi en kvadratisk ekvation

dvs ɑx 2 + bx + c = 0 .

Grafiskt, genom att jämföra funktionen till noll, betyder att man ställer in ett villkor för funktionen så att y-värdet är 0, med andra ord, där parabolen skär upp x-axeln.

Lösningarna för kvadratisk ekvation tillåter oss att hitta dessa två punkter. Om det inte finns några verkliga tallösningar, dvs lösningarna är imaginära nummer, skär inte parabolen x-axeln.

Lösningarna för en kvadratisk ekvation ges av ekvationen:

x = -b ± √ (b2 -4ac) / 2ɑ

Rötterna till en kvadratisk ekvation ger x-axelens skärning för en parabola. |

A och B är x-skärningarna av parabolen y = ax² + bx + c och rötter av kvadratisk ekvation ax² + bx + c = 0 |

Exempel 1: Hitta x-axelns skärning av parabolen y = 3x 2 + 7x + 2

Lösning

  • y = ɑx 2 + bx + c
  • I vårt exempel är y = 3x 2 + 7x + 2
  • Identifiera koefficienterna och konstanten c
  • Så ɑ = 3, b = 7 och c = 2
  • Rötterna till kvadratisk ekvation 3x 2 + 7x + 2 = 0 är vid x = -b ± √ (b 2 - 4ɑc) / 2ɑ
  • Ersättare för ɑ, b och c
  • Den första roten är vid x = -7 + √ (7 2 -4 (3) (2)) / (2 (3) = -1/3
  • Den andra roten är vid -7 - √ (7 2 -4 (3) (2)) / (2 (3) = -2
  • Så x-axelavlyssningarna inträffar vid (-2, 0) och (-1/3, 0)

Exempel 1: Hitta x-skärningarna för parabolen y = 3x2 + 7x + 2 |

Exempel 2: Hitta x-axelns skärning av parabolen med toppvinkeln belägen vid (4, 6) och fokusera på (4, 3)

Lösning

  • Ekvationen för parabolen i fokusvertexform är (x - h) 2 = 4p (y - k)
  • Korsningen är vid (h, k) och ger oss h = 4, k = 6
  • Fokus ligger vid (h, k + p). I det här exemplet är fokuset på (4, 3) så k + p = 3. Men k = 6 så p = 3 - 6 = -3
  • Anslut värdena i ekvationen (x - h) 2 = 4p (y - k) så (x - 4) 2 = 4 (-3) (y - 6)
  • Förenkla att ge (x - 4) 2 = -12 (y - 6)
  • Expandera ekvationen ger oss x 2 - 8x + 16 = -12y + 72
  • Ordna om 12y = -x 2 + 8x + 56
  • Ger y = -1 / 12x 2 + 2 / 3x + 14/3
  • Koefficienterna är a = -1/12, b = 2/3, c = 14/3
  • Rötterna är vid -2/3 ± √ ((2/3) 2 - 4 (-1/12) (14/3)) / (2 (-1/12)
  • Detta ger oss x = -4, 49 ca och x = 12, 49 ca.
  • Så x-axelavlyssningarna inträffar vid (-4, 49, 0) och (12, 49, 0)

Exempel 2: Hitta x-skärning av parabolen med topppunkten vid (4, 6) och fokusera på (4, 3) |

Hur man hittar Y-skärningarna av en parabola

För att hitta y-axelns skärning (y-skärning) för en parabola, sätter vi x till 0 och beräknar värdet på y.

A är y-skärningen av parabolen y = ax² + bx + c |

Exempel 3: Hitta y-skärningen av parabolen y = 6x 2 + 4x + 7

Lösning:

y = 6x 2 + 4x + 7

Ställ in x till 0 ger

6 (0) 2 + 4 (0) + 7 = 7

Avlyssningen inträffar vid (0, 7)

Exempel 3: Hitta y-skärningen av parabolen y = 6x² + 4x + 7 |

Sammanfattning av Parabola-ekvationer

EkvationstypAxel Parallellt med Y-AxisAxel Parallellt med X-Axis
Kvadratisk funktiony = x + bx + cx = y + av + c
Hörnformy = (x - h) + kx = (y - h) + k
Fokusform(x - h) = 4p (y - k)(y - k) = 4p (x - h)
Parabola med Vertex vid Ursprungety = 4 stx = 4py

Hur parabolen används i den verkliga världen

Parabolen är inte bara begränsad till matematik. Parabolaformen förekommer i naturen och vi använder den inom vetenskap och teknik på grund av dess egenskaper.

  • När du sparkar en boll i luften eller en projektil avfyras är banan en parabola
  • Reflektorerna för fordonsstrålkastare eller ficklampor är parabolformade
  • Spegeln i ett reflekterande teleskop är paraboliskt
  • Parabolantenner är i form av en parabola liksom radarrätter

Relaterad läsning: Avleda projektilrörelsekvationer

Radardiskar och radioteleskop är parabolformade. |

Vatten från en fontän (som kan betraktas som en partikelström) följer en parabolisk bana |

Tack

All grafik skapades med GeoGebra Classic.

© 2019 Eugene Brennan