Trigonometri och grunderna i trianglar

I den här lektionen lär du dig trigonometri som är en gren av matematik som täcker förhållandet mellan sidor och vinklar på trianglar. Vi kommer först att täcka de grundläggande fakta om trianglar, sedan lära oss om Pythagoras 'teorem, sinusregeln, kosinusregeln och hur man använder dem för att beräkna alla vinklar och sidolängder av trianglar när du bara känner till några vinklar eller sidor längder. Du kommer också att upptäcka olika metoder för att träna området i en triangel.

Om du tycker att denna handledning är användbar, vänligen visa din uppskattning genom att dela på Facebook eller Pinterest.

Lösa trianglar |

Vad är en triangel?

Per definition är en triangel en polygon med tre sidor.

Polygoner är plana (platta, tvådimensionella) former med flera raka sidor. Andra exempel inkluderar kvadrater, pentagoner, hexagoner och oktagoner. Namnet härstammar från den grekiska pol s som betyder ”många” och g n a som betyder ”hörn” eller ”vinkel”. Så polygon betyder "många hörn." En triangel är den enklaste polygonen med endast tre sidor.

Grundläggande fakta om trianglar

Det mest grundläggande faktumet med trianglar är att alla vinklar lägger till 180 grader. Vinkeln mellan sidorna kan vara allt från större än 0 till mindre än 180 grader. Vinklarna kan inte vara 0 eller 180 grader, eftersom trianglarna skulle bli raka linjer. (Dessa kallas degenererade trianglar ).

Grader kan skrivas med symbolen . Så 45 betyder 45 grader.

Trianglar finns i många former och storlekar beroende på deras hörnvinklar. Vissa trianglar, kallade liknande trianglar, har samma vinklar men olika sidolängder. Detta ändrar förhållandet mellan triangeln och gör den större eller mindre utan att ändra graden av dess tre vinklar.

Nedan kommer vi att undersöka de många sätten att upptäcka sidolängderna och vinklarna på en triangel.

Vinklarna på en triangel sträcker sig från 0 till mindre än 180 grader. |

Oavsett vilken form eller storlek på en triangel är summan av de 3 vinklarna 180 grader. |
Liknande trianglar. |

Vad är triangelns ojämlikhetsteorem?

Detta säger att summan av två sidor i en triangel måste vara större än eller lika med den återstående sidan.

Vilka är de olika typerna av trianglar?

Innan vi lär oss att träna sidorna och vinklarna på en triangel är det viktigt att känna till namnen på de olika typerna av trianglar. Klassificeringen av en triangel beror på två faktorer:

  • Längden på triangelns sidor
  • Vinklarna på en triangelns hörn

Nedan visas en grafik och en tabell med olika typer av trianglar tillsammans med en beskrivning av vad som gör dem unika.

Typer av trianglar

Du kan klassificera en triangel antingen genom sidolängd eller inre vinkel.

Efter sidor

Typ av triangelBeskrivning
LikbentEn likställt triangel har två sidor med samma längd och en sida som är antingen längre eller kortare än lika sidor. Vinkeln har ingen betydelse för den här triangeln.
LiksidigAlla sidor och vinklar är lika långa och lika stora.
OLIKSIDIGAlla sidor och vinklar har olika längder och grader.
Typer av trianglar efter sidolängd.

Med inre vinkel

Typ av triangelBeskrivning
Höger (vinklad)En vinkel är 90 grader.
AkutVar och en av de tre vinklarna mäter mindre än 90 grader.
TrubbigEn vinkel är större än 90 grader.
Typer av trianglar per vinkel.

Triangeltyper och klassificeringar

Trianglar klassificerade efter sidor och vinklar. |

Använda det grekiska alfabetet för ekvationer

Ett annat ämne som vi kort kommer att behandla innan vi studerar matematiken för att lösa trianglar är det grekiska alfabetet.

Inom vetenskap, matematik och teknik lånas många av de 24 tecknen i det grekiska alfabetet för användning i diagram och för att beskriva vissa mängder. Till exempel används tecknen θ (theta) och φ (phi) ofta för att representera vinklar.

Du kanske också har sett karaktären μ (mu) representera mikro som i mikrogram μg eller mikrometer μm. Versalerna Ω (omega) är symbolen för ohm inom elektroteknik. Och naturligtvis är π (pi) förhållandet mellan omkretsen och diametern på en cirkel.

Bokstäver i det grekiska alfabetet. |

Hur hittar du sidorna och vinklarna på en triangel?

Det finns många metoder tillgängliga när det gäller att upptäcka sidorna och vinklarna i en triangel. För att hitta längden eller vinkeln på en triangel kan man använda formler, matematiska regler eller kunskapen om att alla trianglarnas vinklar lägger till 180 grader.

Verktyg för att upptäcka sidor och vinklar i en triangel

  • Pythagoras 'teorem
  • Sintråd
  • Kosinregel
  • Det faktum att alla vinklar lägger till 180 grader

Pythagoras teorem (Pythagoras teorem)

Pythagoras teorem använder trigonometri för att upptäcka den längsta sidan (hypotenuse) av en höger triangel (rätvinklad triangel på brittiska engelska). Den anger att för en rätt triangel:

Kvadratet på hypotenusen är lika med summan av rutorna på de andra två sidorna.

Pythagoras 'teorem är skriven som en formel som följer:

c² = a² + b²

c = √ ( a² + b²)

Hypotenusen är den längsta sidan av en höger triangel och ligger därmed mittemot rätt vinkel.

Så om du vet längderna på två sidor, allt du behöver göra är att kvadratera de två längderna, lägga till resultatet och sedan ta kvadratroten av summan för att få längden på hypotenusen.

Exempel Problem med användning av den Pythagorean teorem

Sidorna på en triangel är 3 och 4 enheter långa. Vad är längden på hypotenusen?

Ring sidorna a, b och c. Sidan c är hypotenusen.

a = 3
b = 4

c = Okänd

Så, enligt Pythagorean teorem:

c² = a² + b²

Så, c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

c = √25

c = 5

Pythagoras's Sats |

Sine, Cosine och Tan of a Angle

En höger triangel har en vinkel som mäter 90 grader. Sidan mittemot denna vinkel kallas hypotenusen (ett annat namn för den längsta sidan). Längden på hypotenusen kan upptäckas med hjälp av Pythagoras 'teorem, men för att upptäcka de andra två sidorna måste sinus och kosinus användas. Detta är trigonometriska funktioner i en vinkel.

I diagrammet nedan representeras en av vinklarna av den grekiska bokstaven θ. Sidan a kallas den "motsatta" sidan och sidan b är "intill" vinkeln θ.

De vertikala linjerna "||" runt orden nedan betyder "längd på."

sinus θ = | motsatt sida | / | hypotenuse |

kosinus θ = | intilliggande sida | / | hypotenuse |

Tan θ = | motsatt sida | / | intilliggande sida |

Sinus och kosinus tillämpas på en vinkel, vilken vinkel som helst, så det är möjligt att ha två rader som möts vid en punkt och att utvärdera sinus eller cos för den vinkeln. Sinus och kosinus härrör emellertid från sidorna av en imaginär högra triangel som ligger ovanpå linjerna.

I det andra diagrammet nedan kan du föreställa dig en rätvinklad triangel ovanpå den lila triangeln, från vilken de motsatta, intilliggande sidorna på hypotenusen kan bestämmas.

Inom intervallet 0 till 90 grader sträcker sig sinus från 0 till 1 och cos varierar från 1 till 0.

Kom ihåg att sinus och kosinus endast beror på vinkeln, inte triangelns storlek. Så om längden a förändras i diagrammet nedan när triangeln förändras i storlek förändras hypotenusen c också i storlek, men förhållandet mellan a och c förblir konstant. De är liknande trianglar.

Sinus och kosinus förkortas ibland till synd och kos.

Sinus, kosinus och solbränna. |

The Sine Rule

Förhållandet mellan längden på en sida av en triangel och sinus på vinkeln motsatt är konstant för alla tre sidor och vinklar.

Så i diagrammet nedan:

a / sinus A = b / sinus B = c / sinus C

Nu kan du kontrollera sinus i en vinkel med hjälp av en vetenskaplig kalkylator eller slå upp den online. I gamla dagar innan vetenskapliga kalkylatorer, var vi tvungna att slå upp värdet på sinus eller cos i en vinkel i en tabellbok.

Den motsatta eller omvända funktionen för sinus är bågskine eller "invers sinus", ibland skriven som sin -1 . När du kontrollerar bågens värde för ett värde, arbetar du med den vinkel som gav detta värde när sinusfunktionen användes på den. Så:

synd (30 ) = 0, 5 och synd -1 (0, 5) = 30

Sintringen bör användas om ...

Längden på en sida och storleken på vinkeln motsatt är känd. Sedan, om någon av de andra kvarvarande vinklarna eller sidorna är kända, kan alla vinklar och sidor utarbetas.

Cosine-regeln

För en triangel med sidorna a, b och c, om a och b är kända och C är den inkluderade vinkeln (vinkeln mellan sidorna), kan C utarbetas med kosinusregeln. Formeln är som följer:

c2 = a 2 + b2 - 2abCos C

Cosine-regeln bör användas om ...

  1. Du vet längden på två sidor av en triangel och den inkluderade vinkeln. Du kan sedan räkna ut längden på den återstående sidan med kosinusregeln.
  2. Du känner till sidornas längder men ingen av vinklarna.

Sedan, genom att ordna om kosinusregelekvationen:

C = Arccos ((a 2 + b2 - c2) / 2ab)

De andra vinklarna kan bearbetas på liknande sätt.

Klicka på miniatyrbild för att se full storlek
Sintråd. |
Exempel på sinre regel. |
Kosinregel. |
Exempel på kosinusregel. |

Hur man får en triangelns område

Det finns tre metoder som kan användas för att upptäcka området för en triangel.

Metod 1. Använd vinkelrätt höjd

Arean av en triangel kan bestämmas genom att multiplicera halva längden på basen med vinkelrätt höjd. Vinkelrätt innebär vinkelrätt. Men vilken sida är basen? Du kan använda vilken som helst av de tre sidorna. Med hjälp av en penna kan du räkna ut området genom att rita en vinkelrätt linje från ena sidan till motsatt hörn med hjälp av en fast kvadrat, T-fyrkant eller en gradskiva (eller en snickares kvadrat om du konstruerar något). Mät sedan linjens längd och använd följande formel för att få området:

Area = 1 / 2ah

"a" representerar längden på triangelns bas och "h" representerar höjden på den vinkelräta linjen.

Metod 2. Använda sidolängder och vinklar

Den enkla metoden ovan kräver att du faktiskt mäter höjden på en triangel. Om du vet längden på två av sidorna och den medföljande vinkeln, kan du analysera området analytiskt med sinus och kosinus (se diagram nedan).

Metod 3. Använd Herons formel

Allt du behöver veta är längden på de tre sidorna.

Area = √ (s (s - a) (s - b) (s - c))

Där är triangelns halvmätare

s = (a + b + c) / 2

Tre sätt att arbeta ut området för en triangel

Klicka på miniatyrbild för att se full storlek

Arean av en triangel är lika med halva baslängden multiplicerad med vinkelrätt höjd. |
Area = 1/2 av sidans produkt multiplicerad med sinus för den inkluderade vinkeln. |

Beräkning av area med Herons formel |

Hur mäter du vinklar?

Du kan använda en gradskiva eller en digital vinkelsökare. Dessa är användbara för DIY och konstruktion om du behöver mäta en vinkel mellan två sidor eller överföra vinkeln till ett annat objekt. Du kan använda detta som en ersättning för en avfasningsmätare för överföring av vinklar, t.ex. vid markering av takbjälkarnas ändar innan skärning. Reglerna är graderade i tum och centimeter och vinklar kan mätas till 0, 1 grader.

Digital vinkelsökare.

En vinkelsökare kan användas för att mäta skuren timmer, och även som en avfasningsmätare för att överföra vinklar när det är nödvändigt att skära fler bitar. |

Sammanfattning

Om du har nått det hittills har du lärt dig många användbara metoder för att upptäcka olika aspekter av en triangel. Med all denna information kan du bli förvirrad när du ska använda vilken metod. Tabellen nedan bör hjälpa dig att identifiera vilken regel du ska använda beroende på de parametrar du har fått.

Hitta vinklar och sidor i en triangel - vilken regel använder jag?

Kända parametrarTriangeltypRegel att använda
Triangeln har rätt och jag vet längden på två sidor.SSS efter Pythagoras sats användeAnvänd Pythagoras teorem för att räkna ut återstående sido- och sinusregel för att träna vinklar.
Triangeln är rätt och jag vet längden på en sida och en vinkelAAS efter att tredje vinkeln fungeradeAnvänd de trigonometriska identiteterna sinus och kosinus för att räkna ut de andra sidorna och summan av vinklar (180 grader) för att räkna ut återstående vinkel.
Jag vet längden på två sidor och vinkeln mellan dem.SASAnvänd kosinusregeln för att träna återstående sida och sinusregel för att beräkna återstående vinklar.
Jag vet längden på två sidor och vinkeln mitt emot en av dem.SSAAnvänd sinusregeln för att beräkna återstående vinklar och sidor.
Jag vet längden på en sida och alla tre vinklarna.AASAnvänd sinusregeln för att räkna ut de återstående sidorna.
Jag vet längderna på alla tre sidornaSSSAnvänd kosinusregeln bakåt för att beräkna varje vinkel. C = Arccos ((a + b - c ) / 2ab)
Jag vet längden på en sida och vinkeln i varje ändeAASSumman av tre vinklar är 180 grader så att återstående vinkel kan beräknas. Använd sinusregeln för att beräkna de två okända sidorna
Jag vet längden på en sida och en vinkelDu måste veta mer information, antingen en annan sida eller en annan vinkel. Detta undantag är om den kända vinkeln är i en rätvinklad triangel och inte den rätta vinkeln.
Sammanfattning av hur man utarbetar vinklar och sidor i en triangel

Vanliga frågor om trianglar

Nedan följer några vanliga frågor om trianglar.

Hur många grader finns det i en triangel?

De inre vinklarna på alla trianglar lägger till 180 grader.

Vad är hypotesen i en triangel?

En triangelns hypotenus är dess längsta sida.

Vad lägger sidorna på en triangel till?

Summan av sidorna på en triangel beror på de individuella längderna på varje sida. Till skillnad från de inre vinklarna i en triangel, som alltid lägger till 180 grader

Hur beräknar du området för en triangel?

För att beräkna arean för en triangel använder du bara formeln:

Area = 1 / 2ah

"a" representerar längden på triangelns bas. "h" representerar dess höjd, som upptäcks genom att dra en vinkelrätt linje från basen till triangeln.

Hur hittar du den tredje sidan av en triangel som inte är rätt?

Om du känner till två sidor och vinkeln mellan dem, använd kosinusregeln och koppla in värdena för sidorna b, c och vinkel A.

Lös sedan för sida a.

Använd sedan vinkelvärdet och sinusregeln för att lösa för vinkel B.

Slutligen, använd din kunskap om att alla trianglarnas vinklar lägger upp till 180 grader för att hitta vinkel C.

Hur hittar du den saknade sidan av en rätvinklad triangel?

Använd den Pythagorean teorem för att hitta den saknade sidan av en triangel. Formeln är som följer:

c² = a² + b²

c = a² + b²

Vad heter en triangel med två lika sidor?

En triangel med två lika sidor och en sida som är längre eller kortare än de andra kallas en likbenad triangel.

Vad är Cosine-formeln?

Denna formel ger kvadratet på en sida mittemot en vinkel, och känner till vinkeln mellan de andra två kända sidorna. För en triangel med sidorna a, b och c och vinklarna A, B och C är de tre formlerna:

a 2 = b2 + c2 - 2bc cos A

eller

b 2 = a 2 + c2 - 2ac cos B

eller

c 2 = a 2 + b2 - 2ab cos C

Hur beräknar jag en triangelns volym?

Eftersom en triangel är ett plan och tvådimensionellt objekt är det omöjligt att upptäcka dess volym. En triangel är platt. Således har den ingen volym.

Triangulära prismor är å andra sidan tredimensionella föremål med en bestämbar volym. För att bestämma volymen på ett triangulärt prisma måste du upptäcka området för prismens bas och sedan multiplicera det med höjden. Formeln är som följer:

V = bh

I ovanstående formel representerar "V" volym, "b" representerar området för basen av det triangulära prismen och "h" representerar höjden på det triangulära prismen.

Hur man räknar ut sidorna i en triangel om jag vet alla vinklar?

Du måste känna till åtminstone en sida, annars kan du inte räkna ut triangelns längder. Det finns ingen unik triangel som har alla vinklar lika. Trianglar med samma vinklar är lika, men sidoförhållandet för två trianglar är detsamma.

Hur man arbetar ut sidorna i en triangel om jag vet alla sidorna?

Använd kosinusregeln i omvänd riktning.
Kosinusregeln säger:

c2 = a 2 + b2 - 2abCos C

Sedan kan du räkna ut vinkeln genom att omorganisera kosinusregelekvationen

C = Arccos ((a 2 + b2 - c2) / 2ab)

och

B = Arccos ((a 2 + c2 - b2) / 2ac)

Den tredje vinkeln A är (180 - C - B)

Klicka på miniatyrbild för att se full storlek

Du kan mäta en vinkel med en gradskiva. |
Du kan mäta en vinkel med en digital vinkelsökare. |

Trianglar i den verkliga världen

En triangel är den mest grundläggande polygonen och kan inte enkelt skjutas ur formen, till skillnad från en kvadrat. Om du tittar noga används trianglar i utformningen av många maskiner och strukturer eftersom formen är så stark.

Triangelns styrka ligger i det faktum att när någon av hörnen bär vikt, så fungerar den motsatta sidan som ett slips, genomgår spänning och förhindrar att ramverket deformeras. Till exempel på en takstol ger de horisontella banden styrka och förhindrar att taket sprider sig vid takfoten.

En triangelns sidor kan också fungera som stagar, men i detta fall genomgår de komprimering. Ett exempel är en hyllkonsol eller stagarna på undersidan av en flygvinge eller själva halvingen.

Klicka på miniatyrbild för att se full storlek
Fackverksbro. |
En takstol. |
Lastlastare. |
Elkraftpylon. |
Talade hjul. |
Flygplansstöd. |

Hur man implementerar kosinregeln i Excel

Du kan implementera kosinusregeln i Excel med hjälp av ACOS Excel-funktionen för att utvärdera arccos. Detta gör det möjligt att utarbeta den medföljande vinkeln, känner till alla tre sidor av en triangel.

Använd Excel ACOS-funktionen för att räkna ut en vinkel och känna till tre sidor av en triangel. ACOS returnerar ett värde i radianer. |

Ring alla lärare och elever

Lärare och studenter, vill du se fler hjälpguider som den här?
Lämna ett förslag i kommentaravsnittet nedan om du har några idéer.