Vad är kalkyl?

Calculus är en studie av hastigheter för förändring av funktioner och ansamling av oändliga små mängder. Det kan i stort sett delas upp i två grenar:

  • Differentialberäkning. Detta gäller hastigheter för förändringar av kvantiteter och sluttningar av kurvor eller ytor i 2D eller flerdimensionellt utrymme.
  • Integrerad kalkyl. Detta innebär att summera oändligt små mängder.

Vad som behandlas i den här handledningen

I den första delen av en tvådelad självstudie kommer du att lära dig om:

  • Gränser för en funktion
  • Hur derivatet av en funktion härleds
  • Regler för differentiering
  • Derivat av vanliga funktioner
  • Vad derivatet av en funktion betyder
  • Utarbeta derivat från första principer
  • Derivat av andra och högre ordning
  • Tillämpningar av differentiell beräkning
  • Arbetade exempel

Om du tycker att denna handledning är användbar, vänligen visa din uppskattning genom att dela på Facebook eller Pinterest.

Vem uppfann kalkylen?

Calculus uppfanns av den engelska matematikern, fysikern och astronomen Isaac Newton och den tyska matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz oberoende av varandra på 1600-talet.

Isaac Newton (1642 - 1726) och Gottfried Wilhelm Leibniz (nedan) uppfann kalkylen oberoende av varandra på 1600-talet. |

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716), en tysk filosof och matematiker. |

Vad används kalkyl för?

Calculus används ofta inom matematik, naturvetenskap, inom de olika områdena teknik och ekonomi.

Introduktion till gränser för funktioner

För att förstå beräkningen måste vi först förstå begreppet gränser för en funktion.

Föreställ dig att vi har en kontinuerlig linjefunktion med ekvationen f (x) = x + 1 som i diagrammet nedan.

Värdet på f (x) är helt enkelt värdet på x-koordinaten plus 1.

Funktionen är kontinuerlig vilket innebär att f (x) har ett värde som motsvarar alla värden på x, inte bara heltal ....- 2, -1, 0, 1, 2, 3 .... och så vidare, men alla mellanliggande verkliga siffror. Det vill säga decimaler som 7.23452 och irrationella siffror som π och √3.

Så om x = 0, f (x) = 1

om x = 2, f (x) = 3

om x = 2, 3, f (x) = 3, 3

om x = 3.1, f (x) = 4.1 och så vidare.

Låt oss koncentrera oss på värdet x = 3, f (x) = 4.

När x närmar sig närmare 3, blir f (x) närmare och närmare 4.

Så vi kunde göra x = 2.999999 och f (x) skulle vara 3.999999.

Vi kan göra f (x) så nära 4 som vi vill. I själva verket kan vi välja valfri godtycklig liten skillnad mellan f (x) och 4 och det kommer att finnas en motsvarande liten skillnad mellan x och 3. Men det kommer alltid att vara ett mindre avstånd mellan x och 3 som ger ett värde på f (x) närmare 4.

f (x) = x + 1 |

Så vad är gränsen för en funktion då?

Med hänvisning till diagrammet igen är gränsen för f (x) vid x = 3 värdet f (x) närmar sig när x närmar sig 3. Inte värdet på f (x) vid x = 3, men värdet det närmar sig . Som vi ser senare, kanske värdet på en funktion f (x) inte finns vid ett visst värde på x, eller så kan det undefineras.

Detta uttrycks som "Gränsen för f (x) när x närmar sig c, är lika med L". |

Formell definition av en gräns

(Ε, δ) Cauchy-definitionen av en gräns:

Den formella definitionen av en gräns specificerades av matematikerna Augustin-Louis Cauchy och Karl Weierstrass

Låt f (x) vara en funktion som definieras i en delmängd D av de verkliga siffrorna R.

c är en punkt för uppsättningen D. (Värdet på f (x) vid x = c kanske inte nödvändigtvis existerar)

L är ett riktigt tal.

Sedan:

lim f (x) = L
x → c

finns om:

  • För det första för varje arbiträrt litet avstånd ε> 0 finns det ett värde δ så att för alla x som tillhör D och 0> | x - c | <5, sedan | f (x) - L | <ε
  • och för det andra måste gränsen som närmar sig från vänster och höger om x-koordinaten för intresse vara lika.

På vanligt engelska säger detta att gränsen för f (x) när x närmar sig c är L, om för varje ε som är större än 0, finns det ett värde δ, så att värden på x inom ett intervall av c ± δ (exklusive c i sig, c + δ och c - δ) producerar ett värde av f (x) inom L ± ε.

.... med andra ord kan vi göra f (x) så nära L som vi vill genom att göra x tillräckligt nära c.

Denna definition är känd som en raderad gräns eftersom gränsen utelämnar punkten x = c.

Intuitivt begrepp om en gräns

Vi kan göra f (x) så nära L som möjligt genom att göra x tillräckligt nära c, men inte lika med c.

Begränsning av en funktion. 0> | x - c | sedan 0> | f (x) - L | <ϵ |

Kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner

En funktion är kontinuerlig vid en punkt x = c på den verkliga linjen om den definieras vid c och gränsen är lika med värdet på f (x) vid x = c. dvs:

lim f (x) = L = f (c)
x → c

En kontinuerlig funktion f (x) är en funktion som är kontinuerlig vid varje punkt över ett specificerat intervall.

Exempel på kontinuerliga funktioner:

  • Temperatur i rum mot tid.
  • Hastigheten på en bil när den förändras över tid.

En funktion som inte är kontinuerlig sägs vara diskontinuerlig. Exempel på diskontinuerliga funktioner är:

  • Din banksaldo. Det ändras omedelbart när du ställer in eller tar ut pengar.
  • En digital signal, det är antingen 1 eller 0 och aldrig mellan dessa värden.

Funktionen f (x) = sin (x) / x eller sinc (x). Gränsen för f (x) när x närmar sig 0 från båda sidorna är 1. Värdet på sinc (x) vid x = 0 är odefinierat eftersom vi inte kan dela med noll och sinc (x) är diskontinuerligt vid denna punkt. |

Gränser för vanliga funktioner

FungeraBegränsa
1 / x som x tenderar till oändlighet0
a / (a ​​+ x) eftersom x tenderar till 0en
sin x / x som x tenderar till 01

Beräkna hastigheten för ett fordon

Föreställ dig att vi registrerar avståndet en bil reser under en timme. Därefter plottar vi alla punkter och går med i prickarna och drar en graf över resultaten (som visas nedan). På den horisontella axeln har vi tiden i minuter och på den vertikala axeln har vi avståndet i mil. Tid är den oberoende variabeln och avståndet är den beroende variabeln. Med andra ord beror avståndet med bilen beroende på vilken tid som gått.

Graf över avstånd som körts av ett fordon med konstant hastighet är en rak linje. |

Om bilen kör med konstant hastighet kommer grafen att vara en linje, och vi kan enkelt räkna ut dess hastighet genom att beräkna grafens lutning eller lutning . För att göra detta i det enkla fallet där linjen passerar genom ursprunget delar vi abscissen (horisontellt avstånd från en punkt på linjen till ursprunget) med ordinaten (vertikalt avstånd från en punkt på linjen till ursprunget).

Så om den reser 25 mil på 30 minuter,

Hastighet = 25 miles / 30 minuter = 25 miles / 0, 5 timme = 50 mph

På samma sätt om vi tar den punkt där den har rest 50 mil är tiden 60 minuter, så:

Hastigheten är 50 miles / 60 minuter = 50 miles / 1 timme = 50 mph

Obs: I fysiken talar vi normalt om en kropps "hastighet". Tekniskt sett är definitionen av hastighet hastighet i en given riktning, så det är en vektorkvantitet. Hastighet är hastigheten på hastighetsvektorn.

Genomsnittlig hastighet och omedelbar hastighet

Okej, så det går bra om fordonet körs med jämn hastighet. Vi delar bara avstånd efter tid som tagits för att få hastighet. Men det här är den genomsnittliga hastigheten över resan på 50 mil. Föreställ dig om fordonet var snabbare och långsammare som i diagrammet nedan. Att dela avstånd efter tid ger fortfarande medelhastigheten över resan, men inte den omedelbara hastigheten som ändras kontinuerligt. I den nya grafen accelererar fordonet mitt på resan och kör ett mycket större avstånd på kort tid innan det bromsar ner igen. Under denna period är dess hastighet mycket högre.

Diagram över ett fordon som kör med variabel hastighet. |

I diagrammet nedan, om vi anger det lilla avståndet som traveleds och tiden som takent, kan vi återigen beräkna hastigheten över detta avstånd genom att arbeta ut lutningen för detta avsnitt av diagrammet.

Så medelhastighet över intervallet Δt = lutning av diagrammet = Δs / Δt

Ungefärlig hastighet över ett kort intervall kan bestämmas från sluttningen. Medelhastigheten över intervallet Δt är Δs / Δt. |

Problemet är dock att detta fortfarande bara ger oss ett genomsnitt. Det är mer exakt än att arbeta hastigheten under hela timmen, men det är fortfarande inte den omedelbara hastigheten. Bilen kör snabbare i början av intervallet Δt (vi vet detta eftersom avståndet förändras snabbare och grafen är brantare). Då börjar hastigheten minska halvvägs och minskar hela vägen till slutet av intervallet Δt.

Vad vi syftar till är att hitta ett sätt att bestämma den omedelbara hastigheten.
Vi kan göra detta genom att göra Δs och smallert mindre och mindre så att vi kan beräkna den omedelbara hastigheten när som helst på grafen.

Se vart det är på väg? Vi kommer att använda begreppet gränser vi lärt oss om tidigare.

Vad är differentiell beräkning?

Differentialkalkyl är en av de två grenarna i kalkylen som också inkluderar integrerad kalkyl . Det är en studie av hur mycket mängderna förändras.

I exemplet ovan såg vi hur vi kunde försöka bestämma en mer exakt mätning av hastigheten genom att arbeta ut en lutning på en graf över ett kortare intervall. Vi kan göra detta med gränser.

Lutning av en graf

I diagrammet nedan har vi en generaliserad funktion y = f (x).

x är en punkt på den horisontella axeln och Δx är en liten förändring i x.

Värdet på funktionen vid x är f (x)

När x ändras till x + Δx, ändras f (x) med Δy till f (x + Δx)

Du kanske kommer ihåg från koordinatgeometri om vi känner till två punkter på en graf: (x 1, y 1 ) och (x 2, y 2 ), lutningen för en linje som sammanfogar de två punkterna är:

(y 2 - y 1 ) / (x 2 - x 1 )

Så lutningen för denna linje är ( f (x + Δx) - f (x)) / (x + Δx - x) = Δy / Δx

Lutningen Δy / Δx är ungefär lutningen för en tangens till diagrammet för liten Δx.

På ett kort avstånd är lutningen för den sekundära (röda linjen) ungefär funktionens förändringshastighet. |

Ungefärlig lutning för en funktion för små steg om x och f (x). |

Vad händer när BecX blir mindre och mindre?

Den röda linjen som korsar grafen vid två punkter i diagrammet ovan kallas en sektion.

Om vi ​​nu gör Δx och Δy mindre och mindre blir den röda linjen så småningom en tangens till kurvan. Tangens lutning är den omedelbara förändringshastigheten för f (x) vid punkten x.

Derivat av en funktion

Om vi ​​tar gränsen för lutningens värde eftersom x tenderar till noll, kallas resultatet derivat av y = f (x).

lim x 0 ( y / x) = lim x 0 ( f (x + x) - f (x)) / (x + x - x ) = dy / dx

Derivatet av y = f (x) med avseende på (wrt) x skrivs som dy / dx eller f '(x) eller bara f ' och är också en funktion av x. Dvs det varierar när x förändras.

Om den oberoende variabeln är tid, indikeras derivatet ibland av variabeln med en punkt överlagrad ovanpå.

Exempelvis om en variabel x representerar position och x är en funktion av tiden. Dvs. x (t)

Derivat av x wrt t är dx / dt = ( eller dx / dt är hastighet, hastigheten på positionens förändring)

Vi kan också beteckna derivatet av f (x) wrt x som d / dx ( f (x))

Eftersom Δx och tendy tenderar att noll, närmar sig sekvensens lutning tangenten. |

Lutning över ett intervall Δx. Gränsen är derivatet av funktionen. |

Vad är det härledda av en funktion?

Derivatet av en funktion f (x) är förändringshastigheten för den funktionen med avseende på den oberoende variabeln x.

Om y = f (x) är dy / dx förändringshastigheten för y när x förändras.

Att skilja funktioner från de första principerna

För att hitta derivatet av en funktion, differentierar vi den mot den oberoende variabeln. Det finns flera identiteter och regler för att göra det enklare, men låt oss först försöka ta fram ett exempel från de första principerna.

Exempel: Utvärdera derivatet av x 2

f (x) = x 2

f (x + Δx) = (x + Δx) 2

d / dx ( f (x)) = lim Δx → 0 ( f (x + Δx) - f (x)) / ((x + Δx) - x)

Ersättare för f (x + Δx) och f (x)

= lim Δx → 0 ((x + Δx) 2 - x 2 ) / Δx)

Expandera ut (x + Δx) 2

= lim Δx → 0 ((x 2 + 2xΔx + Δx 2 - x 2 ) / Δx)

De två x 2 avbryter så:

= lim Δx → 0 ((2xΔx + Δx 2 ) / Δx)

Att dela med Δx ger:

= lim Δx → 0 (2x + Δx)

= 2x

Använda regler för att utarbeta derivat

I stället för att utarbeta derivat av funktioner från de första principerna använder vi normalt en uppsättning regler för att underlätta saker.

I tabellen nedan är f och g två funktioner.

f 'är derivat av f

g 'är derivat av g

Differentieringsregler

RegeltypFungeraDerivat
Konstant faktorregelafaf '
Kraftregel för polynomierx ^ bbx ^ (b-1)
Summan regelf + gf '+ g'
Skillnadsregelf - gf '- g'
Produktregelfgfg '+ gf'
Ömsesidighet av en funktion1 / f- f '/ f ^ 2
Kvotientregelf / g(f 'g - g' f) / g ^ 2
Kedjeregel (funktion av en funktionsregel)f (g) där g är en funktion av xf '(g) g' (x)

Derivat av vanliga funktioner

FunktionstypFungeraDerivat
Konstantc0
Linjemxm
Linje med skärning av y-axelnmx + cm
x kvadratx ^ 22x
x kuberadx ^ 33x ^ 2
Roten urx ^ (1/2)(1/2) x ^ (-1/2)
Ömsesidig1 / x-1 / x ^ 2
Exponentiell funktione ^ xe ^ x
Naturlig loggln (x)1 / x
Trigonometrisk funktionsynd (x)cos (x)
Trigonometrisk funktioncos (x)- synd (x)
Trigonometrisk funktionsolbränna (x)1 + (solbränna (x)) ^ 2 = (cosec (x)) ^ 2

Exempel på att utarbeta derivat

Exempel 1:

Vad är derivatan av 20?

Derivat av en konstant är 0, så d / dx (20) = 0

Exempel 2:

Vad är derivat av 3x?

Med hjälp av konstantfaktorregeln (multiplikation med en konstant regel)

d / dx (3x) = 3 (d / dx (x))

Men med hjälp av maktregeln kommer derivatet av x 1 = 1x 0 = 1

Så d / dx (3x) = 3 (d / dx (x)) = 3 (1) = 3

Exempel 3:

Vad är derivatet av 6x 3

Använd multiplikationen med en konstant regel, d / dx (6x 3 ) = 6 (d / dx (x 3 ))

Från strömregeln är d / dx (x 3 ) = 3x 2

Så d / dx (6x 3 ) = 6 (d / dx (x 3 )) = 6 (3x 2 ) = 18x 2

Exempel 4:

Utvärdera derivatet av 5sin (x) + 6x 5

Vi använder summan regeln för att hitta derivat av 5sin (x) och 6x 5 och lägger sedan till resultatet tillsammans.

Så d / dx (5sin (x)) = 5d / dx (sin (x)) = 5cos (x)

d / dx (6x 5 ) = 6d / dx (x 5 ) = 6 (5x 4 ) = 30x4

Lägga till resultaten tillsammans

d / dx (5sin (x) + 6x 5 ) = 5cos (x) + 30x4

Exempel 5:

Vad är derivatet av x 3 sin (x)?

Använd produktregeln, så:

d / dx (x 3 sin (x)) = x 3 d / dx (sin (x)) + sin (x) d / dx (x 3 )

d / dx (sin (x)) = cos (x)

d / dx (x 3 ) = 3x 2 (från kraftregeln)

så d / dx (x 3 sin (x)) = x 3 d / dx (sin (x)) + sin (x) d / dx (x 3 ) = x 3 cos (x) + 3x 2 sin (x)

Exempel 6:

Utvärdera derivatet av solbränna (x)

solbränna (x) = sin (x) / cos (x)

Vi kan använda kvotregeln för att lösa detta:

d / dx (f (x) / g (x)) = (f '(x) g (x) - g' (x) f (x)) / g (x) 2

så d / dx (sin (x) / cos (x)) = (d / dx (sin (x)) cos (x) - d / dx (cos (x)) sin (x)) / cos 2 (x) )

d / dx (sin (x)) = cos (x)

d / dx (cos (x)) = - sin x

ersätta

(d / dx (sin (x)) cos (x) - d / dx (cos (x)) sin (x)) / cos 2 (x)

= (cos (x) cos (x) - (-sin (x)) sin (x)) / cos 2 (x)

= (cos 2 (x) + sin 2 (x)) / cos 2 (x)

= 1 + solbränna 2 (x) = sek 2 (x)

Exempel 7:

Vad är derivatet från ln (5x 3 )?

Vi använder kedjeregeln för att lösa detta.

För två funktioner f (g) och g (x)

df / dx = (df / dg) (dg / dx)

Låt g (x) = 5x 3

och f (g) = ln (g)

df / dg = 1 / g

dg / dx = 5 (3x 2 ) = 15x2

df / dx = (df / dg) (dg / dx)

= (1 / g) (15x2)

Ersätter g:

= 1 / (5x 3 ) ((15x 2 ) = 3 / x

Vi kunde också ha utvärderat derivatet genom att först använda reglerna för logaritmer för att förenkla uttrycket.

Så ln (5x 3 ) = ln (5) + ln (x 3 ) = ln (5) + 3ln (x) ............ (produktregel och effektregel)

d / dx (ln (5) + 3 ln (x)) = d / dx (ln (5)) + d / dx (3 ln (x)) = 0 + 3d / dx (ln (x))

= 0 + 3 (1 / x) = 3 / x

Derivatets positiva och negativa värden

Animeringen nedan visar funktionen sin (Ө) och dess derivat cos (Ө). Vid Ө = 0 är värdet på derivatet cos (Ө) = cos (0) = 1. När Ө ökar, minskar värdet på cos (Ө), dvs lutningen för tangenten till sin (Ө) blir mindre. Så småningom vid Ө = π / 2 är lutningen noll. Detta är en viktig punkt, eftersom vi kommer att se senare, vi kan använda detta faktum för att hitta maxima och minima av funktioner.
Eftersom Ө överstiger π / 2, blir derivatets värde negativt.

Hurså?

Kommer du ihåg definitionen av derivat?

Δx är positiv, men förändringen Δy är negativ eftersom f (x + Δx) - f (x) är negativ eftersom f (x + Δx) < f (x) ...... (funktionen minskar i värde)

I gränsen som x och y tenderar att noll, är derivatet också mindre än noll.

Sin ( ) and Its Derivative Cos ( )

Derivatets synd ( ) är cos ( ). Lägg märke till hur värdet på derivatet vid = 0 är positivt och sjunker till 0 vid toppen av vågformen när = π / 2. Då blir det negativt och når noll innan det blir positivt igen. |

Derivat av andra och högre ordning

Vad händer om vi tar derivatet av ett derivat?

Betrakta funktionen y = f (x)

Derivatet av y är f '(x) eller dy / dx

Derivatet av dy / dx är känt som det andra derivat eller andra ordningsderivat och betecknas med d2 y / dx 2 eller f '' (x) ...... ( f med en dubbel streck). Vi kan ha derivat med högre ordning så att exempelvis det tredje ordningsderivatet av y är d 3 y / dx 3

Exempel:

(1) Om y = sin (x), vad är d 2 y / dx 2 ?

dy / dx = cos (x)

d2 y / dx 2 = d / dx (cos (x)) = -sin (x)

(2) Vad är det andra derivatet av ln (x)?

y = ln (x)

Så dy / dx = 1 / x = x (-1)

d2 y / dx 2 = d / dx (x (-1) ) = - x (-2) = -1 / x 2

Eftersom dy / dx är förändringshastigheten för en funktion, kan vi grovt sett tänka på d2 y / dx 2 som den hastighet som dy / dx själv förändras.

Återgå till bileksemplet:

s (t) är en funktion som beskriver hur kört avstånd ändras med tiden.
ds / dt är hastigheten för förändring av position, kallad hastighet eller hastighet.
d 2 s / dt 2 är hastigheten på hastighetsförändring, som kallas acceleration.

Om v är fordonets hastighet och a är dess acceleration:

v = ds / dt

a = dv / dt = d / dt (ds / dt) = d 2 s / dt 2

Så det andra derivatet av avstånd som är acceleration är lika med det första hastighetsderivatet.

Vi kan gå upp till det tredje derivatet av s, så:

d 3 s / dt 3 = d2 a / dt 2 är accelerationshastigheten, känd som " ryck".

Använda derivat för att hitta maxima, minima och vända funktionspunkter

Vi kan använda derivatet för att hitta maxima och minima för en funktion (de punkter där funktionen har maximala och minimivärden. Dessa punkter kallas vändpunkter eftersom derivatet ändrar tecken från positivt till negativt eller vice versa. För en funktion f (x), gör vi detta genom att:

  • differentiera f (x) wrt x
  • som motsvarar f ' (x) till 0
  • och hitta ekvationens rötter, dvs värdena på x som gör f '(x) = 0

Exempel 1:

Hitta maxima eller minima för kvadratisk funktion f (x) = 3x 2 + 2x +7 (diagrammet för en kvadratisk funktion kallas en parabola. Se bild nedan)

f (x) = 3x 2 + 2x +7

och f '(x) = 3 (2x 1 ) + 2 (1x 0 ) + 0 = 6x + 2

Ställ in f '(x) = 0


6x + 2 = 0

Lös 6x + 2 = 0


ordna:

6x = -2

ger x = - 1/3

och f (x) = 3x 2 + 2x +7 = 3 (-1/3) 2 + 2 (-1/3) + 7 = 6 2/3

En kvadratisk funktion har ett maximum när koefficienten är x 0. I det här fallet eftersom koefficienten för x var 2, har vi beräknat minima och den inträffar vid punkten (- 1/3, 6 2/3 ).

En kvadratisk funktion. |

Hitta det maximala området för en rektangel som kan omges av en fast längd omkrets. |

Exempel 2:

I diagrammet ovan sträcks en slingad bit sträng med längd p i form av en rektangel. Rektangelns sidor är av längd a och b. Beroende på hur strängen är arrangerad kan a och b varieras och olika rektangelområden kan inneslutas av strängen. Vad är det maximala området som kan ingå och vad är förhållandet mellan a och b i det här scenariot?

p är strängens längd

Omkretsen p = 2a + 2b (summan av de fyra sidolängderna)

Ring området y

och y = ab

Vi måste hitta en ekvation för y i termer av en av sidorna a eller b, så vi måste eliminera någon av dessa variabler.

Låt oss försöka hitta b i termer av en:

Så p = 2a + 2b

ordna:

2b = p - 2a

och:

b = (p - 2a) / 2

y = ab

Att ersätta b ger:

y = ab = a (p - 2a) / 2 = ap / 2 - a 2 = (p / 2) a - a 2

Träna ut derivatet dy / da och ställ det på 0 (p är en konstant):

dy / da = d / da ((p / 2) a - a 2 ) = p / 2 - 2a

Ställ in på 0:

p / 2 - 2a = 0

ordna:

2a = p / 2

så a = p / 4

Vi kan använda omkretsekvationen för att räkna ut b, men det är uppenbart att om a = p / 4 är motsatt sida p / 4, så de två sidorna tillsammans utgör halva längden på strängen vilket betyder båda de andra sidorna tillsammans är halva längden. Med andra ord uppstår maximal yta när alla sidor är lika. Dvs när det slutna området är en kvadrat.

Så området y = (p / 4) (p / 4) = p 2/16

Schemat för en strömförsörjning ansluten till en last, visar försörjningens motsvarande interna motstånd Rint |

Exempel 3 (Max Power Transfer Theorem eller Jacobis lag):

Bilden ovan visar den förenklade elektriska schemat för en strömförsörjning. Alla strömförsörjningar har ett internt motstånd (R INT ) som begränsar hur mycket ström de kan leverera till en last (R L ). Beräkna i termer av R INT värdet på R L vid vilket maximal effektöverföring sker.

Strömmen jag genom kretsen ges av Ohms lag:

Så jag = V / (R INT + R L )

Effekt = Ström kvadrat x motstånd

Så effekt som sprids i belastningen Rl ges av uttrycket:

P = I 2 RL

Att ersätta I:

= (V / (R INT + R L )) 2 R L

= V 2 R L / (R INT + R L ) 2

Utöka nämnaren:

= V 2 R L / (R 2 INT + 2R INT R L + R 2 L )

och att dividera över och under med R L ger:

P = V2 / (R 2 INT / R L + 2R INT + R L )

I stället för att hitta när detta är ett maximalt är det lättare att hitta när nämnaren är ett minimum och detta ger oss den punkt där maximal kraftöverföring sker, dvs. P är ett maximum.

Således är nämnaren R 2 INT / R L + 2R INT + R L

Skill det med R L ger:

d / dR L (R 2 INT / R L + 2R INT + R L ) = -R 2 INT / R 2 L + 0 + 1

Ställ in den på 0:

-R 2 INT / R 2 L + 0 + 1 = 0

ordna:

R 2 INT / R 2 L = 1

och lösa ger R L = R INT.

Så max effektöverföring sker när R L = R INT.

Detta kallas max effektöverföringssatsen.

Strax !

Den andra delen av denna tvådelade handledning täcker integrerad kalkyl och integrationsapplikationer.

Hur man förstår kalkyl: en nybörjarguide för integration

© 2019 Eugene Brennan