Vad är en sekvens?

En sekvens är en funktion vars domän är en ordnad lista med nummer. Dessa siffror är positiva heltal som börjar med 1. Ibland använder människor felaktigt termerna serie och sekvens. En sekvens är en uppsättning positiva heltal medan serier är summan av dessa positiva heltal. Beteckningen för termerna i en sekvens är:

a 1, a 2, a 3, a 4, a n, . . .

Att hitta den nionde termen i en sekvens är lätt med tanke på en allmän ekvation. Men att göra det tvärtom är en kamp. Att hitta en allmän ekvation för en given sekvens kräver mycket tänkande och övning, men att lära sig den specifika regeln leder dig att upptäcka den allmänna ekvationen. I den här artikeln kommer du att lära dig att inducera sekvensmönstren och skriva den allmänna termen när du får de första termerna. Det finns en steg-för-steg-guide för dig att följa och förstå processen och ge dig tydliga och korrekta beräkningar.

Allmän period för aritmetiska och geometriska serier |

Vad är en aritmetisk sekvens?

En aritmetisk serie är en serie ordnade nummer med konstant skillnad. I en aritmetisk sekvens kommer du att observera att varje par på varandra följande termer skiljer sig med samma mängd. Här är till exempel de första fem termerna i serien.

3, 8, 13, 18, 23

Ser du något speciellt mönster? Det är uppenbart att varje nummer efter det första är fem fler än föregående term. Det vill säga den vanliga skillnaden i sekvensen är fem. Vanligtvis visas formeln för den nionde termen i en aritmetisk sekvens vars första term är en 1 och vars gemensamma skillnad är d nedan.

a n = a 1 + (n - 1) d

Steg för att hitta den allmänna formeln för aritmetiska och geometriska sekvenser

1. Skapa en tabell med rubrikerna n och a n där n betecknar uppsättningen av på varandra följande positiva heltal, och en n representerar termen som motsvarar de positiva heltalen. Du kan bara välja de första fem termerna i sekvensen. Tabellera till exempel serien 5, 10, 15, 20, 25, . . .

nett
15
210
315
420
525

2. Lös den första gemensamma skillnaden i a. Betrakta lösningen som ett träddiagram. Det finns två villkor för detta steg. Denna process gäller endast sekvenser vars natur är antingen linjär eller kvadratisk.

Villkor 1 : Om den första vanliga skillnaden är en konstant, använd den linjära ekvationen ax + b = 0 för att hitta den allmänna termen för sekvensen.

a. Välj två par nummer från tabellen och bilda två ekvationer. Värdet på n från tabellen motsvarar x i den linjära ekvationen, och värdet på n motsvarar 0 i den linjära ekvationen.

a (n) + b = a n

b. Efter att ha bildat de två ekvationerna, beräkna a och b med hjälp av subtraktionsmetoden.

c. Ersätt a och b till den allmänna termen.

d. Kontrollera om den allmänna termen är korrekt genom att ersätta värdena i den allmänna ekvationen. Om den allmänna termen inte uppfyller sekvensen, finns det ett fel med dina beräkningar.

Skick 2 : Om den första skillnaden inte är konstant och den andra skillnaden är konstant, använd den kvadratiska ekvationen ax 2 + b (x) + c = 0.

a. Välj tre parpar från tabellen och bilda tre ekvationer. Värdet på n från tabellen motsvarar x i den linjära ekvationen, och värdet på en motsvarar 0 i den linjära ekvationen.

an 2 + b (n) + c = a n

b. Efter att ha bildat de tre ekvationerna, beräkna a, b och c med hjälp av subtraktionsmetoden.

c. Ersätt a, b och c till den allmänna termen.

d. Kontrollera om den allmänna termen är korrekt genom att ersätta värdena i den allmänna ekvationen. Om den allmänna termen inte uppfyller sekvensen, finns det ett fel med dina beräkningar.

Hitta den allmänna ordningstiden för en sekvens |

Problem 1: Allmän term för en aritmetisk sekvens med tillstånd 1

Hitta den allmänna termen för sekvensen 7, 9, 11, 13, 15, 17. . .

Lösning

a. Skapa en tabell med n- och n-värden.

nett
17
29
311
413
515
617

b. Ta den första skillnaden i ett n .

Första skillnaden i aritmetisk serie |

c. Den konstanta skillnaden är 2. Eftersom den första skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen linjär. Välj två värden från tabellen och bilda två ekvationer.

Allmän ekvation:

an + b = a n

Ekvation 1:

vid n = 1, a 1 = 7

a (1) + b = 7

a + b = 7

Ekvation 2:

vid n = 2, a 2 = 9

a (2) + b = 9

2a + b = 9

d. Subtrahera de två ekvationerna.

(2a + b = 9) - (a + b = 7)

a = 2

e. Byt ut värdet på a = 2 i ekvation 1.

a + b = 7

2 + b = 7

b = 7 - 2

b = 5

f. Byt ut värdena a = 2 och b = 5 i den allmänna ekvationen.

an + b = a n

2n + 5 = a n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

a n = 2n + 5

a 1 = 2 (1) + 5 = 7

a 2 = 2 (2) + 5 = 9

a 3 = 2 (3) + 5 = 11

a 4 = 2 (4) + 5 = 13

a 5 = 2 (5) + 5 = 15

a 6 = 2 (6) + 5 = 17

Därför är sekvensens allmänna term:

a n = 2n + 5

Problem 2: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2

Hitta den allmänna termen för sekvensen 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30. . .

Lösning

a. Skapa en tabell med n- och n-värden.

nett
12
23
35
48
512
617
723
830

b. Ta den första skillnaden i ett n . Om den första skillnaden i a n inte är konstant, ta den andra.

Första och andra skillnaden i den aritmetiska serien |

c. Den andra skillnaden är 1. Eftersom den andra skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen kvadratisk. Välj tre uppsättningar värden från tabellen och bilda tre ekvationer.

Allmän ekvation:

an 2 + b (n) + c = a n

Ekvation 1:

vid n = 1, a 1 = 2

a (1) + b (1) + c = 2

a + b + c = 2

Ekvation 2:

vid n = 2, a 2 = 3

a (2) 2 + b (2) + c = 3

4a + 2b + c = 3

Ekvation 3:

vid n = 3, a 2 = 5

a (3) 2 + b (3) + c = 5

9a + 3b + c = 5

d. Subtrahera de tre ekvationerna.

Ekvation 2 - Ekvation 1: (4a + 2b + c = 3) - (a + b + c = 2)

Ekvation 2 - Ekvation 1: 3a + b = 1

Ekvation 3 - Ekvation 2: (9a + 3b + c = 5) - (4a + 2b + c = 3)

Ekvation 3 - Ekvation 2: 5a + b = 2

(5a + b = 2) - (3a + b = 1)

2a = 1

a = 1/2

e. Byt ut värdet a = 1/2 i någon av de två sista ekvationerna.

3a + b = 1

3 (1/2) + b = 1

b = 1 - 3/2

b = - 1/2

a + b + c = 2

1/2 - 1/2 + c = 2

c = 2

f. Byt ut värdena a = 1/2, b = -1/2 och c = 2 i den allmänna ekvationen.

an 2 + b (n) + c = a n

(1/2) n 2 - (1/2) (n) + 2 = a n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

(1/2) n 2 - (1/2) (n) + 2 = a n

a n = 1/2 (n 2 - n + 4)

a 1 = 1/2 (1 2 - 1 + 4) = 2

a 2 = 1/2 (2 2 - 2 + 4) = 3

a 3 = 1/2 (3 2 - 3 + 4) = 5

a 4 = 1/2 (4 2-4 + 4) = 8

a 5 = 1/2 (5 2 - 5 + 4) = 12

a 6 = 1/2 (6 2-6 + 4) = 17

a 7 = 1/2 (7 2-7 + 4) = 23

Därför är sekvensens allmänna term:

a n = 1/2 (n 2 - n + 4)

Problem 3: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2

Hitta den allmänna termen för sekvensen 2, 4, 8, 14, 22, . . .

Lösning

a. Skapa en tabell med n- och n-värden.

nett
12
24
38
414
522

b. Ta den första och andra skillnaden i ett n .

Första och andra skillnaden i den aritmetiska sekvensen

c. Den andra skillnaden är 2. Eftersom den andra skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen kvadratisk. Välj tre uppsättningar värden från tabellen och bilda tre ekvationer.

Allmän ekvation:

an 2 + b (n) + c = a n

Ekvation 1:

vid n = 1, a 1 = 2

a (1) + b (1) + c = 2

a + b + c = 2

Ekvation 2:

vid n = 2, a 2 = 4

a (2) 2 + b (2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Ekvation 3:

vid n = 3, a 2 = 8

a (3) 2 + b (3) + c = 8

9a + 3b + c = 8

d. Subtrahera de tre ekvationerna.

Ekvation 2 - Ekvation 1: (4a + 2b + c = 4) - (a + b + c = 2)

Ekvation 2 - Ekvation 1: 3a + b = 2

Ekvation 3 - Ekvation 2: (9a + 3b + c = 8) - (4a + 2b + c = 4)

Ekvation 3 - Ekvation 2: 5a + b = 4

(5a + b = 4) - (3a + b = 2)

2a = 2

a = 1

e. Byt ut värdet på a = 1 i någon av de två sista ekvationerna.

3a + b = 2

3 (1) + b = 2

b = 2 - 3

b = - 1

a + b + c = 2

1 - 1 + c = 2

c = 2

f. Byt ut värdena a = 1, b = -1 och c = 2 i den allmänna ekvationen.

an 2 + b (n) + c = a n

(1) n 2 - (1) (n) + 2 = a n

n 2 - n + 2 = a n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

n 2 - n + 2 = a n

a 1 = 1 2 - 1 + 2 = 2

a 2 = 2 2 - 2 + 2 = 4

a 3 = 3 2 - 3 + 2 = 8

a 4 = 4 2 - 4 + 2 = 14

a 5 = 5 2 - 5 + 2 = 22

Därför är sekvensens allmänna term:

a n = n 2 - n + 2

Självbedömning

visa frågesportstatistik

Lärde du dig av exemplen?

  • Ja tack!
  • Nej, ge fler exempel.
Se resultat