• Vad är en sekvens?
• Vad är en aritmetisk sekvens?
• Steg för att hitta den allmänna formeln för aritmetiska och geometriska sekvenser
• Problem 1: Allmän term för en aritmetisk sekvens med tillstånd 1
• Problem 2: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2
• Problem 3: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2
• Självbedömning
• Lärde du dig av exemplen?

Vad är en sekvens?

En sekvens är en funktion vars domän är en ordnad lista med nummer. Dessa siffror är positiva heltal som börjar med 1. Ibland använder människor felaktigt termerna serie och sekvens. En sekvens är en uppsättning positiva heltal medan serier är summan av dessa positiva heltal. Beteckningen för termerna i en sekvens är:

a ₁, a ₂, a ₃, a ₄, a _n, . . .

Att hitta den nionde termen i en sekvens är lätt med tanke på en allmän ekvation. Men att göra det tvärtom är en kamp. Att hitta en allmän ekvation för en given sekvens kräver mycket tänkande och övning, men att lära sig den specifika regeln leder dig att upptäcka den allmänna ekvationen. I den här artikeln kommer du att lära dig att inducera sekvensmönstren och skriva den allmänna termen när du får de första termerna. Det finns en steg-för-steg-guide för dig att följa och förstå processen och ge dig tydliga och korrekta beräkningar.

Vad är en aritmetisk sekvens?

En aritmetisk serie är en serie ordnade nummer med konstant skillnad. I en aritmetisk sekvens kommer du att observera att varje par på varandra följande termer skiljer sig med samma mängd. Här är till exempel de första fem termerna i serien.

3, 8, 13, 18, 23

Ser du något speciellt mönster? Det är uppenbart att varje nummer efter det första är fem fler än föregående term. Det vill säga den vanliga skillnaden i sekvensen är fem. Vanligtvis visas formeln för den nionde termen i en aritmetisk sekvens vars första term är en ₁ och vars gemensamma skillnad är d nedan.

a _n = a ₁ + (n - 1) d

Steg för att hitta den allmänna formeln för aritmetiska och geometriska sekvenser

1. Skapa en tabell med rubrikerna n och a _n där n betecknar uppsättningen av på varandra följande positiva heltal, och en _n representerar termen som motsvarar de positiva heltalen. Du kan bara välja de första fem termerna i sekvensen. Tabellera till exempel serien 5, 10, 15, 20, 25, . . .

n	ett
1	5
2	10
3	15
4	20
5	25

2. Lös den första gemensamma skillnaden i a. Betrakta lösningen som ett träddiagram. Det finns två villkor för detta steg. Denna process gäller endast sekvenser vars natur är antingen linjär eller kvadratisk.

Villkor 1 : Om den första vanliga skillnaden är en konstant, använd den linjära ekvationen ax + b = 0 för att hitta den allmänna termen för sekvensen.

a. Välj två par nummer från tabellen och bilda två ekvationer. Värdet på n från tabellen motsvarar x i den linjära ekvationen, och värdet på _n motsvarar 0 i den linjära ekvationen.

a (n) + b = a _n

b. Efter att ha bildat de två ekvationerna, beräkna a och b med hjälp av subtraktionsmetoden.

c. Ersätt a och b till den allmänna termen.

d. Kontrollera om den allmänna termen är korrekt genom att ersätta värdena i den allmänna ekvationen. Om den allmänna termen inte uppfyller sekvensen, finns det ett fel med dina beräkningar.

Skick 2 : Om den första skillnaden inte är konstant och den andra skillnaden är konstant, använd den kvadratiska ekvationen ax ² + b (x) + c = 0.

a. Välj tre parpar från tabellen och bilda tre ekvationer. Värdet på n från tabellen motsvarar x i den linjära ekvationen, och värdet på en motsvarar 0 i den linjära ekvationen.

an ² + b (n) + c = a _n

b. Efter att ha bildat de tre ekvationerna, beräkna a, b och c med hjälp av subtraktionsmetoden.

c. Ersätt a, b och c till den allmänna termen.

d. Kontrollera om den allmänna termen är korrekt genom att ersätta värdena i den allmänna ekvationen. Om den allmänna termen inte uppfyller sekvensen, finns det ett fel med dina beräkningar.

Problem 1: Allmän term för en aritmetisk sekvens med tillstånd 1

Hitta den allmänna termen för sekvensen 7, 9, 11, 13, 15, 17. . .

Lösning

a. Skapa en tabell med _n- och n-värden.

n	ett
1	7
2	9
3	11
4	13
5	15
6	17

b. Ta den första skillnaden i ett _n .

c. Den konstanta skillnaden är 2. Eftersom den första skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen linjär. Välj två värden från tabellen och bilda två ekvationer.

Allmän ekvation:

an + b = a _n

Ekvation 1:

vid n = 1, a ₁ = 7

a (1) + b = 7

a + b = 7

Ekvation 2:

vid n = 2, a ₂ = 9

a (2) + b = 9

2a + b = 9

d. Subtrahera de två ekvationerna.

(2a + b = 9) - (a + b = 7)

a = 2

e. Byt ut värdet på a = 2 i ekvation 1.

a + b = 7

2 + b = 7

b = 7 - 2

b = 5

f. Byt ut värdena a = 2 och b = 5 i den allmänna ekvationen.

an + b = a _n

2n + 5 = a _n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

a _n = 2n + 5

a ₁ = 2 (1) + 5 = 7

a ₂ = 2 (2) + 5 = 9

a ₃ = 2 (3) + 5 = 11

a ₄ = 2 (4) + 5 = 13

a ₅ = 2 (5) + 5 = 15

a ₆ = 2 (6) + 5 = 17

Därför är sekvensens allmänna term:

a _n = 2n + 5

Problem 2: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2

Hitta den allmänna termen för sekvensen 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30. . .

Lösning

a. Skapa en tabell med _n- och n-värden.

n	ett
1	2
2	3
3	5
4	8
5	12
6	17
7	23
8	30

b. Ta den första skillnaden i ett _n . Om den första skillnaden i a _n inte är konstant, ta den andra.

c. Den andra skillnaden är 1. Eftersom den andra skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen kvadratisk. Välj tre uppsättningar värden från tabellen och bilda tre ekvationer.

Allmän ekvation:

an ² + b (n) + c = a _n

Ekvation 1:

vid n = 1, a ₁ = 2

a (1) + b (1) + c = 2

a + b + c = 2

Ekvation 2:

vid n = 2, a ₂ = 3

a (2) ² + b (2) + c = 3

4a + 2b + c = 3

Ekvation 3:

vid n = 3, a ₂ = 5

a (3) ² + b (3) + c = 5

9a + 3b + c = 5

d. Subtrahera de tre ekvationerna.

Ekvation 2 - Ekvation 1: (4a + 2b + c = 3) - (a + b + c = 2)

Ekvation 2 - Ekvation 1: 3a + b = 1

Ekvation 3 - Ekvation 2: (9a + 3b + c = 5) - (4a + 2b + c = 3)

Ekvation 3 - Ekvation 2: 5a + b = 2

(5a + b = 2) - (3a + b = 1)

2a = 1

a = 1/2

e. Byt ut värdet a = 1/2 i någon av de två sista ekvationerna.

3a + b = 1

3 (1/2) + b = 1

b = 1 - 3/2

b = - 1/2

a + b + c = 2

1/2 - 1/2 + c = 2

c = 2

f. Byt ut värdena a = 1/2, b = -1/2 och c = 2 i den allmänna ekvationen.

an ² + b (n) + c = a _n

(1/2) n ² - (1/2) (n) + 2 = a _n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

(1/2) n ² - (1/2) (n) + 2 = a _n

a _{n =} 1/2 (n ² - n + 4)

a ₁ = 1/2 (1 ² - 1 + 4) = 2

a ₂ = 1/2 (2 ² - 2 + 4) = 3

a ₃ = 1/2 (3 ² - 3 + 4) = 5

a ₄ = 1/2 (4 2-4 + 4) = 8

a ₅ = 1/2 (5 ² - 5 + 4) = 12

a ₆ = 1/2 (6 2-6 + 4) = 17

a ₇ = 1/2 (7 2-7 + 4) = 23

Därför är sekvensens allmänna term:

a _{n =} 1/2 (n ² - n + 4)

Problem 3: Allmän aritmetisk sekvens med villkor 2

Hitta den allmänna termen för sekvensen 2, 4, 8, 14, 22, . . .

Lösning

a. Skapa en tabell med _n- och n-värden.

n	ett
1	2
2	4
3	8
4	14
5	22

b. Ta den första och andra skillnaden i ett _n .

c. Den andra skillnaden är 2. Eftersom den andra skillnaden är en konstant är därför den allmänna termen för den givna sekvensen kvadratisk. Välj tre uppsättningar värden från tabellen och bilda tre ekvationer.

Allmän ekvation:

an ² + b (n) + c = a _n

Ekvation 1:

vid n = 1, a ₁ = 2

a (1) + b (1) + c = 2

a + b + c = 2

Ekvation 2:

vid n = 2, a ₂ = 4

a (2) ² + b (2) + c = 4

4a + 2b + c = 4

Ekvation 3:

vid n = 3, a ₂ = 8

a (3) ² + b (3) + c = 8

9a + 3b + c = 8

d. Subtrahera de tre ekvationerna.

Ekvation 2 - Ekvation 1: (4a + 2b + c = 4) - (a + b + c = 2)

Ekvation 2 - Ekvation 1: 3a + b = 2

Ekvation 3 - Ekvation 2: (9a + 3b + c = 8) - (4a + 2b + c = 4)

Ekvation 3 - Ekvation 2: 5a + b = 4

(5a + b = 4) - (3a + b = 2)

2a = 2

a = 1

e. Byt ut värdet på a = 1 i någon av de två sista ekvationerna.

3a + b = 2

3 (1) + b = 2

b = 2 - 3

b = - 1

a + b + c = 2

1 - 1 + c = 2

c = 2

f. Byt ut värdena a = 1, b = -1 och c = 2 i den allmänna ekvationen.

an ² + b (n) + c = a _n

(1) n ² - (1) (n) + 2 = a _n

n ² - n + 2 = a _n

g. Kontrollera den allmänna termen genom att ersätta värdena i ekvationen.

n ² - n + 2 = a _n

a _{1 =} 1 ² - 1 + 2 = 2

a _{2 =} 2 ² - 2 + 2 = 4

a _{3 =} 3 ² - 3 + 2 = 8

a _{4 =} 4 ² - 4 + 2 = 14

a _{5 =} 5 ² - 5 + 2 = 22

Därför är sekvensens allmänna term:

a _{n =} n ² - n + 2

Självbedömning

visa frågesportstatistik

Lärde du dig av exemplen?

• Ja tack!
• Nej, ge fler exempel.

Se resultat