Vad är en cirkel?

"Ett lokus är en kurva eller en annan figur bildad av alla punkter som uppfyller en viss ekvation."

En cirkel är en ensidig form, men kan också beskrivas som en plats för punkter där varje punkt är ekvistant (samma avstånd) från mitten.

Omkrets, diameter och radie |

Vänligen lista den här webbplatsen i din annonsblockerare!

Det tar tid och ansträngning att skriva dessa artiklar och författare behöver tjäna. Överväg att vitlista den här webbplatsen i din annonsblockerare om du anser att den är användbar. Du kan göra det genom att klicka på blockerikonen i verktygsfältet och stänga av den. Blockeringen fungerar fortfarande på andra webbplatser.
Tack!

Vinklar i en cirkel

En vinkel bildas när två linjer eller strålar som är förenade vid sina ändpunkter, avviker eller sprids isär. Vinklar varierar från 0 till 360 grader.
Vi "lånar" ofta bokstäver från det grekiska alfabetet för att använda i matematik. Så den grekiska bokstaven "p" som är π (pi) och uttalad "pie" är förhållandet mellan en cirkelns omkrets och diametern.
Vi använder också den grekiska bokstaven θ (theta) och uttalas "the-ta", för att representera vinklar.

En vinkel i en cirkel sträcker sig från 0 till 360 grader |

360 grader i en hel cirkel |

Delar av en cirkel

En sektor är en del av en cirkulär skiva omsluten av två strålar och en båge.
Ett segment är en del av en cirkulär skiva omsluten av en båge och ett ackord.
En halvcirkel är ett speciellt fall av ett segment, bildat när ackordet är lika med diameterens längd.

Båge, sektor, segment, strålar och ackord |

Vad är Pi (π)?

Pi representerad av den grekiska bokstaven π är förhållandet mellan omkretsen och diametern på en cirkel. Det är ett icke-rationellt tal vilket innebär att det inte kan uttryckas som en bråk i formen a / b där a och b är heltal.

Pi är lika med 3.1416 avrundat till 4 decimaler.

Vad är längden på en cirkelns omkrets?

Om diametern på en cirkel är D och radien är R.

Därefter omkretsen C = πD

Men D = 2R

Så när det gäller radien R

C = πD = 2πR

Vad är området i en cirkel?

Området för en cirkel är A = πR 2

Men D = R / 2

Så området i termer av radien R är

A = πR2 = π (D / 2) 2 = πD 2/4

Vad är grader och radianer?

Vinklar mäts i grader, men ibland för att göra matematiken enklare och elegant är det bättre att använda radianer vilket är ett annat sätt att beteckna en vinkel. En radian är vinkeln underlagd av en båge med längd lika med cirkelns radie. ("Subtended" betyder producerat genom att ansluta två linjer från slutet av bågen till mitten).

En båglängd R lika med radien R motsvarar en vinkel på 1 radian

Så om cirkelns omkrets är 2πR = 2π gånger R, kommer vinkeln för en hel cirkel att vara 2π gånger en radian = 2π

Och 360 grader = 2π radianer

En radian är vinkeln underlagd av en båge med längd lika med en cirkelradie. |

Hur man konverterar från grader till radianer

360 grader = 2π radianer

Att dela båda sidor med 360 ger

1 grad = 2π / 360 radianer

Multiplicera sedan båda sidorna med θ

θ grader = (2π / 360) x θ = θ (π / 180) radianer

Så för att konvertera från grader till radianer multiplicerar du med π / 180

Hur man konverterar från radianer till grader

2π radianer = 360 grader

Dela båda sidor genom att ge 2π

1 radian = 360 / (2π) grader

Multiplicera båda sidor med θ, så för en vinkel θ radianer

θ radianer = 360 / (2π) x θ = (180 / π) θ grader

Så för att konvertera radianer till grader, multiplicera med 180 / π

Hur man hittar längden på en båge

Du kan räkna ut en bågs längd genom att beräkna vilken bråk vinkeln är på 360 grader för en hel cirkel.

En hel 360 graders vinkel har en tillhörande båglängd lika med omkretsen C

Så 360 grader motsvarar en båglängd C = 2πR

Dela med 360 för att hitta båglängden för en grad:

1 grad motsvarar en båglängd 2πR / 360

För att hitta båglängden för en vinkel θ multiplicerar du resultatet ovan med θ:

1 x θ motsvarar en båglängd (2πR / 360) x θ

Så båglängd s för en vinkel θ är:

s = (2πR / 360) x θ = πθR / 180

Derivationen är mycket enklare för radianer:

Per definition motsvarar en radian en båglängd R

Så om vinkeln är θ radianer ger multiplikation med θ:

Båglängd s = R x θ = Rθ

Båglängden är Rθ när θ är i radianer |

Vad är Sine och Cosine?

En rätvinklad triangel har en vinkel som mäter 90 grader. Sidan mittemot denna vinkel kallas hypotenusen och den är den längsta sidan. Sinus och kosinus är trigonometriska funktioner i en vinkel och är förhållandena mellan längden på de andra två sidorna till hypotenusen i en rätvinklad triangel.

I diagrammet nedan representeras en av vinklarna av den grekiska bokstaven .

Sidan a är känd som den "motsatta" sidan och sidan b är den "intilliggande" sidan till vinkeln .

sine = längden på motsatt sida / längden på hypotenusen

kosinus = längden på intilliggande sida / längden på hypotenusen

Sinus och kosinus tillämpas på en vinkel, inte nödvändigtvis en vinkel i en triangel, så det är möjligt att bara ha två linjer som möts vid en punkt och utvärdera sinus eller cos för den vinkeln. Emellertid härledas sinus och kos från sidorna av en imaginär rätvinklad triangel överlagrade på linjerna. I det andra diagrammet nedan kan du föreställa dig en rätvinklad triangel ovanpå den lila triangeln, från vilken motsatta och intilliggande sidor och hypotenus kan bestämmas.

I intervallet 0 till 90 grader sträcker sig sinus från 0 till 1 och cos varierar från 1 till 0

Kom ihåg att sinus och kosinus endast beror på vinkeln, inte triangelns storlek. Så om längden a förändras i diagrammet nedan när triangeln förändras i storlek förändras hypotenusen c också i storlek, men förhållandet mellan a och c förblir konstant.

Sinus och kosinus förkortas ibland till synd och kos

Sink och kosinus av vinklar |

Hur man beräknar området för en sektor i en cirkel

Det totala området för en cirkel är R 2 motsvarande en vinkel på 2 radianer för hela cirkeln.

Om vinkeln är, är detta / 2 bråkdelen av hela vinkeln för en cirkel.

Så området för sektorn är denna bråk multiplicerad med det totala området för cirkeln

eller

( / 2 ) x ( R 2 ) = R 2/2

Område i en sektor i en cirkel som känner till vinkeln θ i radianer |

Hur man beräknar längden på ett ackord som läggs fram av en vinkel

Längden på ett ackord kan beräknas med Cosine-regeln.

För triangeln XYZ i diagrammet nedan är sidan motsatt vinkeln ackordet med längd c.

Från Cosine-regeln:

c 2 = R 2 + R 2 -2RRCos

Förenkling:

c 2 = R 2 + R 2 -2R 2 Cos

eller c 2 = 2R 2 (1 - Cos )

Men från halvvinkelformeln (1- cos ) / 2 = sin 2 ( / 2) eller (1- cos ) = 2sin 2 ( / 2)

Att ersätta ger:

c 2 = 2R 2 (1 - Cos ) = 2R 2 2sin 2 ( / 2) = 4R 2 sin 2 ( / 2)

Att ta fyrkantiga rötter på båda sidor ger:

c = 2Rsin ( / 2)

En enklare härledning som uppnås genom att dela triangeln XYZ i 2 lika trianglar och använda sinusförhållandet mellan motsatt och hypotenus, visas i beräkningen av segmentområdet nedan.

Längden på ett ackord |

Hur man beräknar området för ett segment av en cirkel

För att beräkna arean för ett segment avgränsat av ett ackord och båge subventionerat av en vinkel, beräkna först triangelns area, dra sedan bort detta från sektorns område, vilket ger segmentets område. (se diagram nedan)

Triangeln med vinkel kan halveras och ger två rätvinklade trianglar med vinklar / 2.

Synd ( / 2) = a / R

Så a = RSin ( / 2) (ledningslängd c = 2a = 2RSin ( / 2)

Cos ( / 2) = b / R

Så b = RCos ( / 2)

Området för triangeln XYZ är halva basen med den vinkelräta höjden, så om basen är ackordet XY, är halva basen a och den vinkelräta höjden är b. Så området är:

ab

Att ersätta a och b ger:

RSin (/ 2) RCos (/ 2)

= R 2 Sin ( / 2) Cos ( / 2)

Men formeln med dubbla vinklar säger att Sin (2 ) = 2Sin ( ) Cos ( )

Att ersätta ger:

Area av triangeln XYZ = R 2 Sin ( / 2) Cos ( / 2) = R 2 ((1/2) Sin ) = (1/2) R 2 Sin

Sektorns område är också:

R 2 ( / 2)

Och segmentet är skillnaden mellan sektorens område och triangeln, så subtraktion ger:

Segmentområde = R 2 ( / 2) - (1/2) R 2 Sin

= (R 2/2) ( - Sin )

För att beräkna segmentets area, beräkna först arean för triangeln XYZ och sedan dra det från sektorn. |

Område i ett segment av en cirkel som vet vinkeln |

Ekvation av en cirkel i standardform

Om mitten av en cirkel är belägen vid ursprunget, kan vi ta vilken punkt som helst på omkretsen och överlagra en rätvinklad triangel med hypotenusen som förbinder denna punkt till mitten.
Sedan från Pythagoras teorem, är kvadratet på hypotenusen lika med summan av rutorna på de andra två sidorna. Om radien för en cirkel är r så är detta hypotenusen för den rätvinklade triangeln så att vi kan skriva ekvationen som:


x 2 + y 2 = r 2

Detta är ekvationen för en cirkel i standardform i kartesiska koordinater.

Om cirkeln är centrerad vid punkten (a, b) är cirkelns ekvation:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2

Ekvationen för en cirkel med ett centrum vid ursprunget är r² = x² + y² |

Sammanfattning av ekvationer för en cirkel

KvantitetEkvation
OmkretsπD
OmrådeπR²
Båglängd
Akkordslängd2Rsin (θ / 2)
SektorområdeθR² / 2
Segmentområde(R² / 2) (θ - Sin (θ))
Cirkelformler. θ är i radianer.

© 2018 Eugene Brennan