Pi

Vad är pi?

Om du tar någon perfekt cirkel och mäter dess omkrets (avståndet runt cirkelns kant) och dess diameter (avståndet från ena sidan av cirkeln till den andra, går genom mitten) och delar sedan omkretsen med diametern, du bör upptäcka att du får ett svar på cirka 3.

Om du kunde göra dina mått helt exakta, skulle du upptäcka att du faktiskt får ett svar på 3.14159 ... oavsett vilken storlek din cirkel är. Det spelade ingen roll om du tog dina mätningar från ett mynt, en cirkel på en fotbollsplan eller till och med från O2 Arena i London, så länge dina mätningar är korrekta får du samma svar: 3.14159 ...

Vi kallar detta nummer "pi" (betecknat med den grekiska bokstaven ) och det kallas ibland också Archimedes konstant (efter den grekiska matematikern som först försökte beräkna det exakta värdet på pi).

Pi är ett irrationellt tal som matematiskt betyder att det inte kan skrivas som en bråkdel av två heltal. Detta betyder också att siffrorna i pi aldrig slutar och aldrig upprepar sig.

Pi har många applikationer för matematiker, inte bara inom geometri, utan också i många andra områden inom matematik, och på grund av dess länk till cirklar är det också ett värdefullt verktyg inom många andra livsområden, såsom vetenskaper, teknik etc.

I den här artikeln ska vi titta på ett enkelt geometriskt sätt att beräkna pi genom att använda vanliga polygoner.

En enhetscirkel

Enhetscirkel

Tänk på en enhetscirkel som på bilden ovan. Enhet betyder att den har en radie som är lika med en enhet (för våra ändamål spelar det ingen roll vad den här enheten är. Det kan vara m, cm, tum osv. Resultatet kommer fortfarande att vara detsamma).

Området för en cirkel är lika med π x radie 2 . Eftersom radien för vår cirkel är en har vi därför en cirkel med ett område av π. Om vi ​​sedan kan hitta området i denna cirkel med hjälp av en annan metod, har vi därför fått oss ett värde för π.

Enhetscirkel med fyrkanter

Lägga till rutor i vår enhetscirkel

Föreställ dig nu att lägga till två rutor till vår bild av enhetscirkeln. Vi har ett större torg, precis tillräckligt stort för att cirkeln ska passa perfekt inuti, vidröra fyrkanten i mitten av var och en av dess kanter.

Vi har också en mindre, inskriven kvadrat som passar inuti cirkeln och är precis tillräckligt stor för att dess fyra hörn alla berör cirkelns kant.

Det framgår av bilden att cirkelns område är mindre än det stora torget, men större än det lilla torget. Därför, om vi kan hitta kvadraternas områden, har vi övre och nedre gränser för π.

Det stora torget är relativt enkelt. Vi kan se att det är två gånger bredden på cirkeln så att varje kant är 2 lång. Området är därför 2 x 2 = 4.

Den mindre fyrkanten är lite svårare eftersom denna fyrkant har en diagonal på 2 istället för en kant. Om vi ​​använder Pythagoras teorem om vi tar en rätvinklad triangel av två av kvadratets kanter och diagonalen som hypotenusen, kan vi se att 2 2 = x 2 + x 2 där x är längden på en kant på torget. Detta kan lösas för att få x = √2, varför området för det lilla torget är 2.

Eftersom cirkelns område ligger mellan våra två areavärden vet vi nu att 2 <π <4.

Enhetscirkel med pentagoner

Enhetscirkel med pentagoner

Hittills är vår uppskattning med rutor inte särskilt exakt, så låt oss se vad som händer om vi börjar använda vanliga pentagoner istället. Återigen har jag använt en större femkant på utsidan med cirkeln som bara rör vid dess kanter, och en mindre femkant på insidan med hörnen bara vid cirkelns kant.

Att hitta området på en femkant är lite svårare än för en kvadrat, men inte för svårt med hjälp av trigonometri.

Större Pentagon

Område med större Pentagon

Ta en titt på diagrammet ovan. Vi kan dela upp femtonen i tio lika rätvinklade trianglar som var och en har en höjd av 1 (samma som cirkelns radie) och en mittvinkel på 360 ÷ 10 = 36 °. Jag har betecknat kanten mittemot vinkeln som x.

Med hjälp av grundläggande trigonometri kan vi se att solbränna 36 = x / 1, så x = solbränna 36. Området för var och en av dessa trianglar är därför 1/2 x 1 x solbränna 36 = 0.3633. Eftersom det finns tio av dessa trianglar är femkantens area därför 10 x 0, 363 = 36, 33.

Den mindre Pentagon

Området för den mindre Pentagon

Den mindre femkant har ett avstånd från en mitt till varje topp. Vi kan dela upp femtonen i fem likställiga trianglar, vardera med två kanter på 1 och en vinkel på 360 ÷ 5 = 72 °. Triangelns yta är därför 1/2 x 1 x 1 x sin 72 = 0, 4755, vilket ger oss en femkantig yta på 5 x 0, 4755 = 2, 378.

Vi har nu mer exakta gränser för π av 2.378 <π <3.633.

Använda vanliga polygoner med fler sidor

Vår beräkning med pentagonerna är fortfarande inte så exakt, men det kan tydligt ses att ju fler sidor polygonerna har, desto närmare blir gränserna.

Vi kan generalisera metoden vi använde för att hitta femkantiga områden, så att vi snabbt kan beräkna de inre och yttre polygonerna för valfritt antal sidor.

Med samma metod som för pentagonerna får vi:

Område med mindre polygon = 1/2 xnx sin (360 / n)

Område med större polygon = nx solbränna (360 / 2n)

där n är antalet sidor av polygonen.

Vi kan nu använda detta för att få mycket mer exakta resultat!

Övre och nedre gränser med polygoner med fler sidor

Polygoner med fler sidor

Ovan har jag listat resultaten för de kommande fem polygonerna. Du kan se att gränserna blir närmare och närmare varandra varje gång tills vi har ett intervall på drygt 0, 3 när vi använder dekagon. Detta är dock inte alltför exakt. Hur många kanter måste vi ha innan vi kan beräkna till 1 dp och därefter?

Polygoner med ännu fler sidor

Polygoner med ännu fler sidor

I bilden ovan har jag visat de punkter där kan beräknas till vissa antal decimaler. För att få till och med en decimal decimal måste du använda 36-sidiga former. För att få fem decimaler med noggrannhet behöver du en överraskande 2099 sidor.

Är detta en bra metod för beräkning av pi?

Så är detta en bra metod för att beräkna ? Det är verkligen inte det mest effektiva. Moderna matematiker har beräknat till biljoner decimaler med effektivare algebraiska metoder och superdatorer, men jag älskar hur visuell den här metoden är och hur enkel den är (ingen av matematikerna i den här artikeln är över skolnivå).

Se om du kan ta reda på hur många sidor som behövs innan du kan få ett värde på exakt till 6 decimaler (tips: Jag använde Excel för att hitta mina värden).

Min video om att hitta pi från DoingMaths YouTube-kanal