Kontakta författare

En kort sammanfattning av den relativa relativitetsteorin

Den speciella relativitetsteorin är en teori av Albert Einstein, som kan baseras på de två postulaten

Postulat 1: Fysikens lagar är desamma (invariant) för alla inertiella (icke-accelererande) observatörer. *

Postulat 2: I ett vakuum är ljusets hastighet, mätt av alla tröghetsobservatörer, konstanten (invarianten) c = 2.99792458x10 8 m / s oberoende av rörelsen hos eller observatören. *

Om två identiska rymdskepp passerade varandra med mycket hög konstant hastighet (v), så skulle observatörer på båda rymdfarkosterna se i det andra fordonet att:

det andra rymdskeppet kontrakterade i längd med

L = LO (1-v 2 / c2) 1/2 .

tidshändelser inträffar i långsammare takt på det andra rymdskeppet av

T = TO / (1-v 2 / c2) 1/2 .

båda observatörerna ser att de främre och bakre klockorna på det andra rymdskeppet uppvisar brist på samtidighet.

Om en observatör skulle se ett fordon (A) närma sig honom från vänster med en hastighet på 0, 8c och ett annat fordon (B) närma sig honom från höger med en hastighet på 0, 9c. Då verkar det som om de två fordonen närmar sig varandra med en hastighet på 1, 7 c, en hastighet större än ljusets hastighet. Emellertid är deras relativa hastighet till varandra V A + B = (V A + V B ) / (1 + V A V B / c 2 ).

Sålunda är V A + B = (0, 8 c + 0, 9 c) / (1 + 0, 72 c2 / c2) = 0, 989c.

* Modern Physics av ​​Ronald Gautreau & William Savin (Schaums Outline Series)

Prime Observer's Coordinate System, ett rymd-tidsdiagram

Den främsta observatören är på en tröghetsreferensram (det är vilken plattform som inte accelererar). Detta kan ses som vår referensram i rymd-tidsdiagrammet. Den främsta observatören kan plotta sin egen tid och en rymdaxel (x-axel) som ett tvådimensionellt rektangulärt koordinatsystem. Detta är ax, t rymd-tidsdiagram och illustreras i fig. 1. Rymdaxeln eller x-axeln mäter avstånd i nuet. Tidsaxeln mäter tidsintervaller i framtiden. Tidsaxeln kan sträcka sig under rymdaxeln in i det förflutna.

Den främsta observatören A kan använda vilken som helst längdenhet för sin rymdenhet (SU). För att tidsenheten (TU) ska ha en fysisk längd kan denna längd vara avståndsljuset skulle röra i en tidsenhet (TU = ct). Tidenheten (TU) och rymdenheten (SU) ska dras till samma längd. Detta producerar ett kvadratiskt koordinatsystem (fig. 1). Till exempel om enheten för tid (TU) är ett mikrosekund, kan den rumsliga enheten (SU) vara det avstånd som körts med ljus i ett mikrosekund, det vill säga 3x10 2 meter.

Ibland, för att illustrera avstånd, dras en raket på diagrammet. För att indikera tidsaxeln är 90 O för alla rymdaxlarna representeras avståndet på denna axel ibland som ict. Där jag är det imaginära talet, som är kvadratroten -1. För en sekundär observatör B på ett objekt som rör sig med en konstant hastighet relativt observatör A, verkar hans eget koordinatsystem samma som fig. 1, till honom. Det är först när vi jämför de två koordinatsystemen, på ett tvåramsdiagram, att systemet som observeras verkar förvrängd på grund av deras relativa rörelse.

Fig. 1 Huvudobservatörens x, t-koordinatsystem (referenssystemet)

De galileiska transformationerna

Före speciell relativitet, verkade omvandling av mätningar från ett tröghetssystem till ett annat system som rör sig med en konstant hastighet relativt det första, uppenbart. ** Detta definierades av den uppsättning ekvationer som kallas de galileiska transformationerna. De galileiska transformationerna fick sitt namn efter Galileo Galilei.

Galileiska Transformationer * ......... Inverse Galileiska Transformationer *

x '= x-vt ........................................ x = x' + vt

y '= y .............................................. y = y '

z '= z ............................................. z = z '

t '= t .............................................. t = t '

Objektet finns i något annat tröghetssystem som rör sig genom observatörens system. För att jämföra koordinaterna för detta objekt plottar vi objektets koordinater med hjälp av de omvända galileiska transformationerna på observatörens kartesiska plan. I fig. 2 ser vi observatörens rektangulära koordinatsystem i blått. Objektets koordinatsystem är i rött. Detta två-ramsschema jämför observatörens koordinater med koordinaterna för ett objekt som rör sig relativt observatören. Objektets raket är en rymdenhet lång och passerar observatören med en relativ hastighet på 0, 6 c. I diagrammet representeras hastigheten v av dess lutning (m) relativt de blå tidsaxlarna . För en punkt på ett objekt med en relativ hastighet på 0, 6 c till observatören skulle ha en lutning m = v / c = 0, 6 . Ljushastigheten c representeras av dess lutning c = c / c = 1, den svarta diagonala linjen. Raketens längd mäts som en rymdenhet i båda systemen. Tidenheterna för båda systemen representeras av samma vertikala avstånd på papperet.

* Modern Physics av ​​Ronald Gautreau & William Savin (Schaums Outline Series) ** Concepts of Modern Physics av ​​Arthur Beiser

Fig. 2 Ett tvåramsdiagram som visar galileiska transformationer för en relativ hastighet på 0, 6c

Lorentz-transformationerna

Lorentz-transformationerna är en hörnsten i den speciella teorin om relativitet. Denna uppsättning ekvationer möjliggör transformering av elektromagnetiska mängder i en referensram till deras värden i en annan referensram som rör sig relativt den första. De hittades av Hendrik Lorentz 1895. ** Dessa ekvationer kan användas på alla objekt, inte bara elektromagnetiska fält. Genom att hålla hastigheten konstant och använda de omvända Lorentz-transformationerna x 'och t', kan vi plotta objektets koordinatsystem på observatörens kartesiska plan. Se figur 3. Det blå koordinatsystemet är observatörens system. De röda linjerna representerar objektets koordinatsystem (systemet som rör sig relativt observatören).

Lorentz-transformationer * ......... Inverse Lorentz-transformationer *

x '= (x-vt) / (1-v 2 / c 2 ) 1/2 ..................... x = (x' + vt ') / (1-v 2 / c2) 1/2

y '= y ........................................... y = y '

z '= z ........................................... z = z '

t '= (t + vx / c2) / (1-v 2 / c 2 ) 1/2 ....... t = (t' - vx '/ c2) / (1-v 2 / c 2 ) 1/2

Fig 3 Plottning av punkter för objektets koordinater på observatörens rymd-tidsdiagram ger ett tvåramsdiagram som kallas x, t Minkowski-diagram. ***

I fig. 3 för att plotta några av de viktigaste punkterna i objektets koordinater använder de omvända Lorentz-transformationerna på observatörens rymd-tidsdiagram. Här har objektet en relativ hastighet på 0, 6c för observatören och

relativitetsfaktorn (gamma) = 1 / (1-v 2 / c 2 ) = 1, 25.

Det är för observatören, objektets ena tidsenhet 0, 1 inträffar 0, 25 tidsenheter senare än hans på tidsenheten 0, 1. Genom att ansluta punkterna med raka linjer som sträcker sig till kanten av observatörens plan, producerar vi objektets koordinatsystem i förhållande till observatörens koordinatsystem. Vi kan se att koordinaterna 0, 1 och 1, 0 i objektets system (röd) är i en annan position än samma koordinater i observatörens system (blått).

** Concepts of Modern Physics av ​​Arthur Beiser

*** Ett liknande men enklare x, Minkowski-diagram var i Space-time Physics av ​​EF Taylor & JA Wheeler

Minkowski-diagrammet

Resultaten av att plotta x, t-punkterna och linjerna bestämda av ekvationerna för Lorentz-transformationerna är ett 2-D, x, t Minkowski rymd-tidsdiagram (fig 4). Detta är ett två-ram eller två-koordinat diagram. Observatörens tidsaxel t representerar observatörens väg genom tid och rum. Objektet rör sig åt höger förbi observatören med en hastighet på 0, 6c. Detta diagram jämför den relativa hastigheten (v) mellan objektet och observatören med ljusets hastighet (c). Vinkelns lutning eller tangens ( ) mellan axlarna (t och t 'eller x och x') är förhållandet v / c. När ett objekt har en relativ hastighet till observatören på 0, 6c är vinkeln mellan observatörens axel och objektens axel = arktan 0, 6 = 30, 96 O.

I diagrammen nedan har jag lagt till skalor (1/10 enhet) till t 'och x' axlarna. Observera att både objektets tid och rumsliga skalor är lika långa. Dessa längder är större än längderna på observatörens skalor. Jag lade raketer till fig. 4 vid olika positioner i tid. A är observatörens raket (i blått) och B är objektets raket (i rött). Raket B passerar raket A med en hastighet på 0, 6c

Fig. 4 X, t Minkowski-diagrammet

Viktigast är att båda systemen mäter ljusets hastighet som värdet på en rymdenhet dividerad med en tidsenhet. I fig. 5 båda raketerna skulle se ljus (den svarta linjen) flytta från raketens svans vid ursprunget till dess näsa, vid 1SU Space Unit) i 1TU (tidsenhet). Och i fig 5 ser vi ljus som släpps ut i alla riktningar från ursprunget, vid tiden lika med noll. Efter en tidsenhet skulle ljuset ha kört en rymdenhet (S'U) i båda riktningarna från endera tidsaxeln.

Fig. 5 Ljushastigheten är densamma i båda systemen

En invariant

En invariant är egenskapen till en fysisk kvantitet eller fysisk lag att vara oförändrad av vissa omvandlingar eller operationer. Saker som är desamma för alla referensramar är invarianta . När en observatör inte accelererar och han mäter sin egen tidsenhet, rymdenhet eller massa förblir dessa desamma (invariant) för honom, oavsett hans relativa hastighet mellan observatören och andra observatörer. Båda postulaten i den speciella relativitetsteorin handlar om invarians.

Invariansens hyperbola

För att rita Minkowski-diagrammet höll vi hastigheten konstant och plottade olika x, t-koordinater med hjälp av de omvända Lorentz-transformationerna. Om vi ​​plottar en enda koordinat med många olika hastigheter med hjälp av de omvända Lorentz-transformationerna, kommer det att spåra en hyperbola på diagrammet. Detta är hyperbalan av invarians eftersom varje punkt på kurvan är samma koordinat för objektet med en annan relativ hastighet för observatören. Den övre grenen av hyperbollen i fig. 6 är platsen för alla punkter för samma tidsintervall föremålet, med vilken hastighet som helst. För att rita detta kommer vi att använda de omvända Lorentz-transformationerna för att plotta punkten P '(x', t '), där x' = 0 och t '= 1. Detta är en av objektets tidsenheter på dess tidsaxel. Om vi ​​skulle plotta denna punkt på x, t Minkowski-diagrammet, eftersom den relativa hastigheten mellan denna punkt och observatören ökar från -c till nästan c, skulle det dra den övre grenen av en hyperbola. Avståndet S från ursprunget till punkten P där observatörens tidsaxel (cti) korsar denna hyperboll är observatörens enda tidsenhet. Avståndet S 'från ursprunget till den punkt där objektets tidsaxel (ct'i) korsar denna hyperboll är objektets enda tidsenhet. Eftersom avståndet till båda dessa punkter är ett tidsintervall, sägs de vara invariant. Se fig. 7. Plottning av punkten (0 ', - 1') för alla möjliga hastigheter ger den nedre grenen av samma hyperbola. Ekvationen för denna hyperbola är

t 2 -x 2 = 1 eller t = (x 2 + 1) 1/2 .

Tabell 1 beräknar x-positionen och tiden t för punkten x '= 0 och t' = 1 för objektet som rör sig förbi observatören med flera olika hastigheter. Denna tabell visar också invarianten. Det för varje olika hastighet

S ' 2 = x' 2 -t ' 2 = -1.

Således är kvadratroten av S ' 2 i för varje hastighet. X, t-punkterna från tabellen är ritade på fig. 1-8 som små röda cirklar. Dessa punkter används för att rita hyperbollen.

Tabell 1 Positionerna för punkter i den första kvadranten för punkt P (0, 1) i hyperbollen t = (x2 + 1) ½

Fig. 6 The Time Hyperbola of Invariance

Plottning av punkterna (1 ', 0') och (-1 ', 0') för alla möjliga hastigheter ger den högra och vänstra grenen av hyperbollen x 2-t 2 = 1 eller t = (x 2 -1) 1/2, för rymdintervallet. Detta illustreras i fig. 7. Dessa kan kallas hyperbolas of invariance. Varje annan punkt på en hyperbola av invarians är samma koordinat för objektet (x ', t'), men med en annan hastighet relativt observatören.

Fig. 7 Rymdhyperbola av invarians

The Hyperbola of Invariance för olika tidsintervaller

De omvända Lorentz-transformationerna för x och t är x = (x '+ vt') / (1-v 2 / c2) 1/2 och t = (t '- vx' / c2) / (1-v 2 / c 2 ) 1/2 .

För objektets t'-axel blir x '= 0 och ekvationerna blir x = (vt') / (1-v 2 / c2) 1/2 och t = (t '/ (1-v 2 / c2) ) 1/2 . Om vi ​​plottar dessa ekvationer för flera värden på t 'kommer det att rita en hyperbola för varje olika värde på t'.

Fig. 7a visar 5 hyperbolor som alla ritats från ekvationen ((x 2 + t 2 ) ) / (1-v 2 / c 2 ) 1/2 . Hyperbolan T '= 0, 5, representerar var objektets koordinatpunkt (0, 0, 5) kan vara beläget i observatörens koordinatsystem. Det är varje punkt i hyperbollen representerar objektets punkt (0, 0, 5) med en annan relativ hastighet mellan objektet och observatören. Hyperbolan T '= 1 representerar platsen för objektets punkt (0, 1) vid alla möjliga relativa hastigheter. Hyperbola T '= 2 representerar punkten (0, 2) och så vidare med de andra.

Punkt P1 är positionen för objektets koodinat (0, 2) som har en relativ hastighet av -0, 8c för observatören. Hastigheten är negativ eftersom objektet rör sig till vänster. Punkt P2 är positionen för objektets koordinat (0, 1) som har en relativ hastighet på 0, 6c för observatören.

Fig. 7a SomeTime Hyperbolas of invariance för olika val av T '

Intervallets invariance

Ett intervall är tiden mellan två händelser eller avståndet mellan två objekt . I fig. 8 & 9 är avståndet från ursprung till en punkt i 4-dimensionell rymdtid kvadratroten av D 2 = x 2 + y 2 + z 2 + (cti) 2 . Eftersom i 2 = -1 blir intervallet kvadratroten av S 2 = x 2 + y 2 + z 2 - (ct) 2 . Intervallet för intervallet kan uttryckas som S 2 = x 2 + y 2 + z 2 - (ct) 2 = S ' 2 = x' 2 + y ' 2 + z' 2 - (ct ') 2 . För invarianten av intervallet i x är t Minkowski-diagrammet S 2 = x 2 - (ct) 2 = S ' 2 = x' 2 - (ct ') 2 . Detta betyder att intervallet till en punkt (x, t) på x- eller t-axeln, i observatörens system, mätt i observatörsenheter, är samma intervall till samma punkt (x ', t') på x 'eller t 'axel, mätt i objektenheterna. I figur 8 är Hyperbola-ekvationen ± cti = (x 2 - (Si) 2 ) 1/2 och i figur 8a Hyperbola-ekvationen ± cti = (x 2 - (Si) 2 ) 1/2 . Således kan dessa ekvationer med avståndet till en punkt S 'användas för att plotta hyperbollen av invarians på Minkowski-diagrammet.

Fig. 8 Det invarianta tidsintervallet ........ Fig. 8a Det invarianta rymdintervallet

Använda kegelens ljus som ett tredje sätt att visualisera Hyperbola of Invariance

I fig. 9 utsänds ett ljus vid punkten P1 (0, 1) på observatörens x, y-plan vid t = 0. Detta ljus kommer att rida ut från denna punkt som en expanderande cirkel på x, y-planet. När den expanderande ljuskretsen rör sig genom tiden spårar den ut en ljuskotte i rymden. Det tar en tidsenhet för ljuset från P1 att nå observatören vid punkt 0, 1 på observatörens x, t-plan. Det är här konljuset bara vidrör observatörens x, y-plan. Ljuset når emellertid inte en punkt som 0, 75 enheter längs x-axeln förrän ytterligare 0, 25 tidsenheter har klistrat in. Detta kommer att ske vid P3 (0, 75, 1, 25) på observatörens x, t-plan. Vid denna tidpunkt skärningspunkten mellan ljuskotte med observatörens x, y-plan är en hyperbola. Detta är samma hyperbola som ritades med den omvända Lorentz-transformationen och bestämdes med användning av invariansen i intervallet.

Fig. 9 Korsningen mellan ljuskotten med observatörens x, t-plan

Skala-förhållandet 

I fig. 10 raket B har en relativ hastighet på 0, 6c till raket A. Vi ser att avstånden som representerar en rymdenhet och en tidsenhet för raket B är längre än avstånden som representerar en rymdenhet och en tidsenhet för raket A. Skalan förhållandet för detta diagram är förhållandet mellan dessa två olika längder. Vi ser en horisontell prickad linje som passerar genom en tidsenhet på objekten t'-axeln passerar genom observatörens t-axel vid γ = 1, 25 dygn. Detta är tidsutvidgningen. Det vill säga att observatören rör sig långsammare i objektets system än hans tid med faktorn γ = 1 / (1- (v / c) 2 ) ½ . Avståndet objektet skulle röra sig under denna tid är γv / c = 0, 75 rymdenheter. Dessa två dimensioner bestämmer skalan på objektets axel. Förhållandet mellan enhetens skalor (t / t ') representeras av den grekiska bokstaven sigma σ och

σ = ((y ) 2 + (y (v / c)) 2 ) 1/2 . Skalaförhållandet σ

För en hastighet på 0, 6c är σ = (1, 25 2 + 0, 75 2 ) 1/2 = 1, 457738. Detta är hypotenusen av triangeln vars sidor är y och γv / c. Dessa indikeras av de prickade svarta linjerna i fig. 10. Vi ser också en cirkelbåge korsar t'-axeln vid t '= 1 tidsenhet, och den korsar t-axeln vid t = 1.457738 tidsenheter. Skalaförhållandet s ökar när hastigheten mellan objektet och observatören ökar.

Fig. 10 Skalaförhållandet jämför järnens längder i båda systemen

The Line of Simultaneity (A Time Line)

En rad samtidighet är en linje på diagrammet, där hela linjens längd representerar ett ögonblick i tiden. I fig. 11 linjerna för samtidighet (prickade svarta linjer) för observatören är alla linjer på rymd-tidsdiagrammet som är parallella med observatörens rymdaxel (en horisontell linje). Observatören mäter sin egen raketlängd längs en av sina samtidiga linjer som en rymdenhet lång. I fig. 12 samtidslinjerna visas också som svarta streckade linjer som är parallella med objektets rymdaxel. Varje linje representerar samma tidsökning, från ena änden till den andra, för objektet. Objektet mäter raketens längd som en rymdenhet längs en av hans samtidiga linjer. Alla längder i koordinatsystemet mäts längs en eller annan av dessa linjer. Och alla tidsmätningar indikeras av avståndet för denna linje från dess rumsaxel.

I fig. 12 har objektet en relativ hastighet på 0, 6 c till observatören. Objektets raket är fortfarande en rymdenhet lång men på diagrammet verkar den som utsträckt genom rymden och tiden, med s (skalförhållandet). Observatören kommer att mäta längden på objektets raket längs en av observatörens linjer av samtidighet (de orange prickade linjerna). Här kommer vi att använda observatörens rymdaxel som linjen för samtidighet. Därför kommer observatören att mäta längden på objektets raket (när t = 0) från nosen på raketen B1 vid t '= -0.6TU till raketens svans i t' = 0.0 (dess längd på ett ögonblick i hans tid). Således kommer observatören att mäta längden på objektets raket som sammandragits till 0, 8 dess ursprungliga längd på sin linje av samtidighet. Bilderna av ögonblickliga sektioner av föremålets raket som släpptes vid olika tidpunkter kommer alla till observatörens ögon på samma ögonblick.

I fig. 11 ser vi observatörens linjer av samtidighet. Vid t = 0 blinkas ett ljus framtill och bakom observatörens raket. De svarta linjerna som representerar ljusets hastighet är i en 45 O- vinkel på x, t Minkowski-diagrammet. Raketen är en rymdenhet lång och observatören är i raketens mittpunkt. Ljuset från båda blinkar (representeras av de svarta linjerna) kommer fram till observatören samtidigt (samtidigt) vid t = 0, 5. I fig. 12 föremålets raket rör sig relativt observatören med en hastighet på 0, 6c. En sekundär observatör (B) är mittpunkten på objektets raket. Ett ljus blinkas fram och bak på objektets raket på samma ögonblick i förhållande till B. Ljuset från båda blinkar (representeras av de helt svarta linjerna) kommer fram till objektets observatör (B) samtidigt (samtidigt) vid t '= 0, 5.

Fig. 11 Rader av samtidighet för observatören

Fig. 12 Samtidslinjer för objektet

Vi har sett en kort sammanfattning av den relativa relativitetsteorin. Vi utvecklade Prime Observers koordinatsystem och Secondary Observer (objektets) koordinatsystem. Vi undersökte diagram med två ramar, med de galileiska transformationerna och Lorentz-transformationerna. Utvecklingen av x, y Minkowski-diagrammet. Hur hyperbalen av invarians skapas genom svepning av en punkt på T '-axeln för alla möjliga hastigheter, i x, t Minkowski-diagrammet. En annan hyperbola sopas ut av en punkt på X-axeln. Vi undersökte skalförhållandet s och samtidslinjen (en tidslinje).