Grundläggande notation

I symbolisk logik är De Morgan's Laws kraftfulla verktyg som kan användas för att förvandla ett argument till en ny, potentiellt mer upplysande form. Vi kan dra nya slutsatser utifrån vad som kan anses vara gammal kunskap vi har till hands. Men som alla regler måste vi förstå hur vi använder det. Vi börjar med två påståenden som på något sätt är relaterade till varandra, vanligtvis symboliserade som p och q . Vi kan koppla samman dem på många sätt, men för detta navs syfte behöver vi bara vara upptagen av konjunktioner och disjunktioner som våra huvudinstrument för logisk erövring.

Negation

En ~ (tilde) framför en bokstav betyder att uttalandet är falskt och förnekar det nuvarande sanningsvärdet. Så om uttalande p är "Himlen är blå", så läser ~ p som "Himlen är inte blå" eller "Det är inte så att himlen är blå." Vi kan parafrasera vilken mening som helst till en negation med "det är inte fallet det" med den positiva formen av meningen. Vi hänvisar till tilden som en unary connective eftersom den endast är ansluten till en enda mening. Som vi kommer att se nedan fungerar konjunktioner och disjunktioner på flera meningar och är så kallade binära anslutningar (36-7).

pqp ^ q
TTT
TFF
FTF
FFF

Samband

En konjunktion symboliseras som

p ^ q

med ^ som representerar "och" medan p och q är konjunktionerna i konjunktionen (Bergmann 30). Vissa logikböcker kan också använda symbolen "&", känd som en ampersand (30). Så när är en konjunktion sant? Den enda gången en konjunktion kan vara sant är när både p och q är sanna, för "och" gör konjunktionen beroende av sanningsvärdet för båda uttalandena. Om endera eller båda uttalandena är falska, är sambandet också felaktigt. Ett sätt att visualisera detta är genom en sanningstabell. Tabellen till höger representerar sanningsvillkoren för en konjunktion baserad på dess beståndsdelar, med de uttalanden vi granskar i rubrikerna och värdet på uttalandet, antingen sant (T) eller falskt (F), faller under det. Varje möjlig kombination har utforskats i tabellen, så studera den noggrant. Det är viktigt att komma ihåg att alla möjliga kombinationer av sant och falskt utforskas så att en sanningstabell inte vilseleder dig. Var också försiktig när du väljer att representera en mening som en konjunktion. Se om du kan parafrasera den som en "och" typ av mening (31).

pqPVQ
TTT
TFT
FTT
FFF

Åtskiljande

En åtskillnad å andra sidan symboliseras som

p v q

där v, eller kil, representerar "eller" och p och q är disjuncts för disjunktionen (33). I det här fallet kräver vi att endast ett av uttalandena är sanna om vi vill att disjunktionen ska vara sant, men båda uttalanden kan också vara sanna och fortfarande ger en disjunktion som är sant. Eftersom vi behöver det ena eller det andra, kan vi ha ett enda sanningsvärde för att få en verklig förbindelse. Sanningstabellen till höger visar detta.

När du bestämmer dig för att använda en disjunktion, se om du kan parafrasera meningen i en "antingen ... eller" struktur. Om inte, kan en skillnad inte vara det rätta valet. Se också till att båda meningarna är fullständiga meningar, inte beroende av varandra. Slutligen, notera vad vi kallar den exklusiva känslan av "eller". Detta är när båda valen inte kan vara korrekta samtidigt. Om du antingen kan gå till biblioteket klockan 7 eller gå till basebollspelet klockan 7, kan du inte välja båda som sanna på en gång. För våra ändamål behandlar vi den inkluderande känslan av "eller", när du kan ha båda valen som sanna samtidigt (33-5).

pq~ (p ^ q)~ pv ~ q
TTFF
TFTT
FTTT
FFTT

De Morgan's Law # 1: Negation of a Conjunction

Medan varje lag inte har någon ordningsföljd, kallas den första jag kommer att diskutera "negation av en konjunktion." Det är,

~ ( p ^ q )

Detta innebär att om vi konstruerade en sanningstabell med p, q och ~ ( p ^ q) så kommer alla värden vi hade för konjunktionen att vara det motsatta sanningsvärdet som vi etablerade tidigare. Det enda falska fallet är när p och q båda är sanna. Så hur kan vi förvandla denna negerade konjunktion till en form som vi kan förstå bättre?

Nyckeln är att tänka när den negerade konjunktionen skulle vara sant. Om antingen p ELLER q var falsk, skulle den negerade konjunktionen vara sann. Den "ELLER" är nyckeln här. Vi kan skriva ut vår negerade konjunktion som följande skillnad

~ p v ~ q

Sanningstabellen till höger visar vidare de likvärdiga karaktären hos de två. Således,

~ ( p ^ q) = ~ p v ~ q

pq~ (PVQ)~ p ^ ~ q
TTFF
TFFF
FTFF
FFTT

De Morgan's Law # 2: Negation of a Disjunction

Lagens "andra" kallas "negation av disjunktionen." Det är, vi har att göra med

~ ( p v q )

Baserat på disjunktionstabellen kommer vi bara att ha ett sant fall när vi negerar disjunktionen: när båda p OCH q är falska. I alla andra fall är negationen av disjunktionen falsk. Notera återigen sanningsvillkoret, som kräver ett "och". Sanningsvillkoret vi kom till kan symboliseras som en koppling av två negerade värden:

~ p ^ ~ q

Sanningstabellen till höger visar igen hur dessa två uttalanden är likvärdiga. Således

~ ( p v q ) = ~ p ^ ~ q

Citerade verk

Bergmann, Merrie, James Moor och Jack Nelson. Logikboken . New York: McGraw-Hill Higher Education, 2003. Tryck. 30, 31, 33-7.

  • Modus Ponens och Modus Tollens
    I logik är modus ponens och modus tollens två verktyg som används för att dra slutsatser av argument. Vi börjar med en antecedent, ofta symboliserad som bokstaven p, som är vår