Kontakta författare

schackbräde

Ris på ett schackbräde - en exponentiell berättelse

Det här är en berättelse om ett schackbräde, ett schackspel och exponentialens otroliga kraft.

Ambalappuzha Sri Krishna Temple

Ambalappuzha Sri Krishna Temple |

Vid Ambalappuzha Sri Krishna-templet i södra Indien ligger ett hinduistiskt tempel som byggdes någon gång under 15-1700-talet som idag har en mycket nyfiken tradition, med en ännu mer nyfiken historia bakom.

Alla pilgrimer till templet serveras en maträtt som kallas paal payasam, en söt pudding gjord av ris och mjölk. Men varför? Traditionen har några mycket matematiska ursprung.

Legend of Payasam på Ambalappuzha

En gång i tiden besökte kungen som styrde över Ambalappuzha-regionen av en resande vismannen som utmanade kungen till ett schackspel. Kungen var välkänd för sin kärlek till schack och därför accepterade han lätt utmaningen.

Innan spelet startade frågade kungen vismannen vad han skulle vilja ha som pris om han vann. Visaren, som en resande man med lite behov av fina presenter, bad om lite ris, som skulle räknas ut på följande sätt:

Ge mig ett riskorn på den första fyrkanten på detta schackbräde, sedan två korn på det andra torget, fyra korn på det tredje torget, åtta korn på det fjärde torget och så vidare, så att varje kvadrat innehåller dubbelt så mycket ris av föregående fyrkant.

Nu blev kungen förvånad av detta. Han hade förväntat sig att vismannen skulle begära guld eller skatter eller något annat fint till sitt förfogande, inte bara ett par handfull ris. Han bad visaren att lägga till andra saker till sitt potentiella pris, men visaren avböjde. Allt han ville var riset.

Så kungen gick med och schackspelet spelades. Kungen förlorade och så, enligt sitt ord, sa kungen sina hovmän att samla lite ris så att vismannens pris kunde räknas ut.

Riset kom och kungen började räkna ut det på schackbrädet; ett korn på det första torget, två korn på det andra torget, fyra korn på det tredje torget och så vidare. Han avslutade den översta raden och satte 128 ris på den åttonde torget.

Han flyttade sedan till den andra raden; 256 korn på den nionde torget, 512 på den tionde torget, sedan 1024, sedan 2048, fördubblas varje gång tills han behövde sätta 32 768 ris på den sista fyrkanten av den andra raden.

Kungen började nu inse att något var fel. Detta kommer att kosta mer ris än vad han ursprungligen trodde och det fanns inget sätt att han skulle kunna passa det hela på schackbrädet, men han fortsatte att räkna. I slutet av den tredje raden skulle kungen behöva lägga ner 8, 4 miljoner ris. I slutet av den fjärde raden behövdes 2, 1 miljarder korn. Kungen tog med sig sina bästa matematiker, som beräknade att schackbrädans sista kvadrat skulle kräva mer än 9 x 10 ^ 18 riskorn (9 följt av 18 nollor) och att kungen totalt skulle behöva ge 18 446 744 073 709 551 615 korn till vismannen.

De första fyra raderna på schackbrädet

Det var vid denna tidpunkt som visaren visade sig vara Gud Krishna i förklädnad. Han sa till kungen att han inte behövde betala honom sitt pris på en gång, utan istället kunde betala det över tid. Kungen gick med på detta och det är därför som idag pilgrimer till Ambalapuzzha-templet serveras paal payasam när kungen fortsätter att betala sin skuld.

Hur mycket ris var det här?

Det totala antalet riskorn som behövs för att fylla schackbrädet skulle ha varit 18 446 744 073 709 551 615. Det här är mer än 18 kvintillion riskorn som skulle väga ungefär 210 miljarder ton och skulle vara tillräckligt med ris för att täcka hela landet Indien med ett meter högt lager av ris.

För att sätta detta i perspektiv odlar Indien för närvarande cirka 100 miljoner ton ris per år. I denna takt skulle det ta över 2 000 år att odla tillräckligt med ris för att betala kungarna skuld.

Ris på ett schackbräde - en exponentiell berättelse

Matematikens del

Om du undrar hur siffrorna i den här artikeln beräknades, här är matematikdelen.

Antalet riskorn på varje kvadrat följer följande mönster; 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 etc. Dessa är krafterna för två (2 = 2, 4 = 2 x 2, 8 = 2 x 2 x 2 etc). Med en lite närmare undersökning kan vi se att den första fyrkanten är 2 ^ 0, den andra fyrkanten är 2 ^ 1, den tredje fyrkanten är 2 ^ 2 och så ger oss en nionde term på 2 ^ (n-1). Detta innebär att vi för ett visst torg på schackbrädan kan räkna ut hur mycket ris som behövs genom att göra två för att kraften i en är mindre än torget. Exempelvis innehåller det 20: e torget 2 ^ (20 - 1) riskorn som är lika med 524 288.

För att beräkna hur många korn som behövs totalt, kunde vi träna ut varje kvadrat och lägga till alla 64 rutor tillsammans. Detta skulle fungera, men det skulle ta mycket lång tid. Det snabbare sättet är genom att utnyttja följande tvångsbefogenheter. Från början, om du lägger till varandra följande krafter på två, kommer du att märka att din totala alltid är en kort av nästa kraft av två. Exempelvis de första tre krafterna av två, 1 + 2 + 4 = 7 som är en under nästa effekt, 8. 1 + 2 + 4 + 8 = 15 som är en under nästa effekt 16. Detta kan bevisas vara sant för alla två krafter och genom att använda detta får vi att det totala antalet korn på schackbrädet är (2 ^ 64) -1 vilket ger det totala citerade ovan.