Historia om Zenos paradoxer

Zenos paradox. En paradox av matematik när den tillämpas på den verkliga världen som har förbryllat många människor under åren.

Cirka 400 f.Kr. började en grekisk matematiker med namnet Democritus att leka med idén om infinitesimals eller använda oändligt små skivor av tid eller avstånd för att lösa matematiska problem. Begreppet infinitesimals var den första början, föregångaren om du vill, till den moderna Calculus som utvecklades från den ungefär 1700 år senare av Isaac Newton och andra. Idén mottogs emellertid inte bra år 400 f.Kr., och Zeno från Elea var en av dess motståndare. Zeno kom med en serie paradoxer som använder det nya begreppet infinitesimals för att diskreditera hela studiefältet och det är de paradoxer som vi kommer att titta på i dag.

I sin enklaste form säger Zenos Paradox att två objekt aldrig kan röra. Tanken är att om det ena objektet (säger en boll) är stillastående och det andra sätts i rörelse närmar sig det att den rörliga bollen måste passera halvvägspunkten innan den når den stationära bollen. Eftersom det finns ett oändligt antal halvvägspunkter kan de två bollarna aldrig röra - det kommer alltid att finnas en annan halvvägspunkt att korsa innan de når den stationära bollen. En paradox eftersom uppenbarligen två objekt kan röra medan Zeno har använt matematik för att bevisa att det inte kan hända.

Zeno skapade flera olika paradoxer, men alla kretsar kring detta koncept; det finns ett oändligt antal punkter eller villkor som måste korsas eller uppfyllas innan ett resultat kan ses och därför kan resultatet inte ske på mindre än oändlig tid. Vi kommer att titta på det specifika exemplet som ges här; alla paradoxer kommer att ha liknande lösningar.

Pågående matematik |

Första fallet av Zenos Paradox

Det finns två sätt att titta på paradoxen; ett objekt med konstant hastighet och ett objekt med förändrad hastighet. I det här avsnittet kommer vi att titta på fallet med ett objekt med förändrad hastighet.

Visualisera ett experiment bestående av boll A ("kontroll" -bollen) och boll Z (för Zeno), båda tempoade 128 meter från en ljusstråle av den typ som används i sportevenemang för att bestämma vinnaren. Båda bollarna sätts i rörelse mot den ljusstrålen, kulan A med en hastighet av 20 meter per sekund och bollen Z med 64 meter per sekund. Låt oss genomföra vårt experiment i rymden, där friktion och luftmotstånd inte kommer att spela.

Diagrammen nedan visar avståndet till ljusstrålen och hastigheten vid olika tidpunkter.

Denna tabell visar kulans A läge när den sätts i rörelse med 20 meter per sekund och att hastigheten bibehålls vid den hastigheten.

Varje sekund kommer bollen att röra sig 20 meter, tills det sista tidsintervallet när den kommer i kontakt med ljusstrålen på bara.

Som kan ses kommer bollen att kontakta ljusstrålen på 6, 4 sekunder från frisläppningstiden. Det är den typen vi ser dagligen och håller med den uppfattningen. Den når ljusstrålen utan problem.

Boll A, konstant hastighet

Tid sedan utsläpp, i sekunderAvstånd från Light BeamHastighet, meter per sekund
110820
28820
36820
44820
52820
6820
6, 4020

================================================== =============

Detta diagram visar exemplet på en boll efter Zenos paradox. Bollen släpps med en hastighet av 64 meter per sekund, vilket gör att den passerar halvvägspunkten på en sekund.

Under nästa sekund måste bollen köra halvvägs till ljusstrålen (32 meter) under den andra sekundens tidsperiod och måste således genomgå negativ acceleration och färdas med 32 meter per sekund. Denna process upprepas varje sekund, med bollen fortsätter att sakta ner. Vid markeringen på 10 sekunder är bollen bara 1/8 meter från ljusstrålen, men reser också bara med 1/8 meter per sekund. Ju längre bollen går, desto långsammare går det; inom 1 minut kommer den att resa med .000000000000000055 (5, 5 * 10 ^ -17) meter per sekund; ett mycket litet antal. På bara några sekunder kommer det att närma sig 1 Planck avståndslängd (1, 6 * 10 ^ -35 meter) varje sekund, det minsta möjliga linjära avståndet i vårt universum.

Om vi ​​ignorerar problemet som skapats av ett Planck-avstånd är det uppenbart att bollen faktiskt aldrig når ljusstrålen. Anledningen är naturligtvis att det långsammare avtar. Zenos paradox är ingen paradox alls, bara ett uttalande om vad som händer under dessa mycket specifika förhållanden med ständigt minskande hastighet.

Ball Z, som representerar Zenos paradox

Tid sedan utsläpp, sekunderAvstånd från ljusstrålenHastighet, meter per sekund
16464
23232
31616
488
544
622
711
80, 50, 5
90, 250, 25
100, 1250, 125

Andra fallet av Zenos paradox

I det andra fallet av paradoxen kommer vi att närma oss frågan i den mer normala metoden att använda en konstant hastighet. Detta kommer naturligtvis att innebära att tiden för att nå successiva halvvägspunkter kommer att förändras så att vi kan titta på ett annat diagram som visar detta, med bollen som släpps på 128 meter från ljusstrålen och reser med en hastighet av 64 meter per sekund.

Som framgår minskar tiden till varje på varandra följande halvvägspunkt medan avståndet till ljusstrålen också minskar. Medan siffrorna i tidskolumnen har avrundats hittas de faktiska siffrorna i tidskolumnen med ekvationen T = 1+ {1-1 / 2 ^ (n-1)} (n representerar antalet halvvägspunkter som har uppnåtts) eller summan (T n-1 + 1 / (2 ^ (n-1)) ) där T 0 = 0 och n sträcker sig från 1 till ∞. I båda fallen kan det slutliga svaret hittas när n närmar sig oändlighet.

Oavsett om den första ekvationen eller den andra väljs, kan det matematiska svaret bara hittas med hjälp av kalkyl; ett verktyg som inte var tillgängligt för Zeno. I båda fallen är det slutliga svaret T = 2 eftersom antalet korsade halvvägspoäng närmar sig ∞; bollen berör ljusstrålen på 2 sekunder. Detta överensstämmer med praktisk erfarenhet; för en konstant hastighet på 64 meter per sekund tar en boll exakt 2 sekunder att resa 128 meter.

Vi ser i detta exempel att Zenos paradox kan tillämpas på faktiska, verkliga händelser som vi ser varje dag, men att det tar matematik som inte är tillgänglig för honom för att lösa problemet. När detta är gjort finns det ingen paradox och Zeno har korrekt förutspått tid för kontakt mellan två föremål som närmar sig varandra. Själva matematikfältet som han försökte diskreditera (infinitesimals, eller det är en efterföljande kalkyl) används för att förstå och lösa paradoxen. En annan, mer intuitiv inställning till att förstå och lösa paradoxen finns i ett annat nav för Paradoxal Matematik, och om du har haft detta nav kan du mycket väl njuta av en annan där ett logikpussel presenteras; det är en av de bästa denna författare har sett.

Z-bollen med konstant hastighet

Tid sedan utsläpp i sekunderAvstånd till ljusstråleTid sedan sista halvvägs punkt
1641
1, 5321/2
1, 75161/4
1, 87581/8
1, 937541/16
1, 968821/32
1, 984311/64