Leonardo Pisano (smeknamnet Leonardo Fibonacci) var en välkänd italiensk matematiker.

Han föddes i Pisa 1170 e.Kr. och dog där omkring 1250 e.Kr.

Fibonacci reste brett och 1202 publicerade han Liber abaci, som baserades på hans kunskap om aritmetik och algebra som utvecklats under hans omfattande resor.

En undersökning som beskrivs i Liber abaci hänvisar till hur kaniner kan föda upp.

Fibonacci förenklade problemet genom att göra flera antaganden.


Antagande 1.

Börja med ett nyfött par kaniner, en hane, en kvinna.

Antagande 2.

Varje kanin kommer att para vid en månad ålder och att i slutet av den andra månaden kommer en kvinna att producera ett par kaniner.

Antagande 3.

Ingen kanin dör, och kvinnan kommer alltid att producera ett nytt par (en hane, en hona) varje månad från och med den andra månaden.

Detta scenario kan visas som ett diagram.

Sekvensen för antalet par kaniner är

1, 1, 2, 3, 5, .

Om vi ​​låter F ( n ) vara den nionde termen, då F ( n ) = F ( n - 1) + F ( n - 2), för n > 2.

Det vill säga varje term är summan av de två föregående termerna.

Till exempel är den tredje termen F (3) = F (2) + F (1) = 1 + 1 = 2.

Med hjälp av denna implicita relation kan vi bestämma så många termer i sekvensen som vi vill. De första tjugo termerna är:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765

Förhållandet mellan Fibonacci-nummer i följd närmar sig den gyllene kvoten, representerad av den grekiska bokstaven . Värdet på är ungefär 1, 618034.

Detta kallas också den gyllene andelen .

Konvergensen till det gyllene förhållandet ses tydligt när uppgifterna planeras.

Gyllene rektangel

Förhållandet mellan längden och bredden på en gyllene rektangel ger den gyllene kvoten.

Två av mina videor illustrerar egenskaperna för Fibonacci-sekvensen och vissa applikationer.

Explicit form och det exakta värdet på Φ

Nackdelen med att använda den implicita formen F ( n ) = F ( n - 1) + F ( n - 2) är dess rekursiva egenskap. För att bestämma en viss term måste vi känna till de två föregående termerna.

Om vi ​​till exempel vill ha värdet på 1000: e terminen krävs 998: e terminen och den 999: e terminen. För att undvika denna komplikation får vi det uttryckliga formuläret .

Låt F ( n ) = x n vara den nte termen, för något värde, x .

Då blir F ( n ) = F ( n - 1) + F ( n - 2) x n = x n -1 + x n -2

Dela varje term med x n -2 för att få x 2 = x + 1 eller x 2 - x - 1 = 0.

Detta är en kvadratisk ekvation som kan lösas för att x ska få

Den första lösningen är naturligtvis vår Golden Ratio, och den andra lösningen är den negativa ömsesidigheten av Golden Ratio.

Så vi har för våra två lösningar:

Den uttryckliga formen kan nu skrivas i den allmänna formen.

Lösning för A och B ger

Låt oss kontrollera detta. Anta att vi vill ha den 20: e terminen, som vi vet är 6765.

Golden Ratio är genomgripande

Fibonacci-nummer finns i naturen, till exempel i antalet kronblad i en blomma.

Vi ser den gyllene kvoten i förhållandet mellan de två längderna på hajens kropp.

Arkitekter, hantverkare och konstnärer har Golden Ratio. Parthenon och Mona Lisa använder gyllene proportioner.

Jag har gett en inblick i egenskaperna och användningen av Fibonacci-nummer. Jag uppmuntrar dig att utforska denna berömda sekvens ytterligare, särskilt i den verkliga världen, till exempel i aktiemarknadsanalys och rule av tredjedelar som används i fotografering.

När Leonardo Pisano postulerade nummersekvensen från sin studie av befolkningen av kaniner, kunde han inte ha förutsett att mångsidigheten i hans upptäckt kan användas och hur den dominerar många aspekter av naturen.